第4课时数系的扩充与复数的引入考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第4课时双基研习•面对高考双基研习•面对高考1．复数的概念(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数，其中i叫做虚数单位，a和b分别叫做它的_____和_____．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________.(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________.实部虚部a＝c且b＝da＝c；b＝－d基础梳理基础梳理(4)复数的分类实数：b＝0.虚数：_____纯虚数：______.非纯虚数：______.b≠0a＝0a≠0思考感悟已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若z1＞z2，则a＞c说法正确吗？提示：正确．因为z1，z2至少有一个为虚数时是不能比较大小的，故z1，z2均为实数，即z1＝a，z2＝c，所以z1＞z2，即a＞c.2．复数的几何意义(1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，横轴叫做实轴，____叫做虚轴．实轴上的点都表示_____；除原点外，虚轴上的点都表示_______．(2)复数与点：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(3)复数与向量：复数z＝a＋bi平面向量＝(a，b)(a，b∈R)．(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作____________，即|z|＝|a＋bi|＝__________.竖轴实数纯虚数|z|或|a＋bi|a2＋b2OZ→OZ→3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2(c＋di≠0)；⑤i的幂运算：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有：z1＋z2＝_______，(z1＋z2)＋z3＝______________．z2＋z1z1＋(z2＋z3)课前热身课前热身1．下列命题正确的是()①(－i)2＝－1；②i3＝－i；③若a＞b，则a＋i＞b＋i；④若z∈C，则z2＞0.A．①②B．①③C．②③D．①②④答案：A2．(教材习题改编)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D3．(2010年高考湖南卷)复数21－i等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案：A4．(a－i)2＝2i，则实数a＝________.答案：－15．已知z1＋i＝2＋i，则复数z＝________.答案：1＋3i考点探究·挑战高考考点突破考点突破复数的有关概念及其几何意义处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．每一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，在复平面内有唯一的一个点Z(a，b)和它对应，而点Z(a，b)与OZ→存在惟一对应关系，故复数可用点或向量表示．当实数a为何值时，复数z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内？【思路分析】由复数的分类条件和复数的几何意义求解．【解】(1)由z为实数，得a2－3a＋2＝0，即(a－1)(a－2)＝0，解得a＝1或a＝2.例例11(2)由z为纯虚数，得a2－2a＝0，①a2－3a＋2≠0.②由①，得a＝0或a＝2，由②，得a≠1且a≠2，∴a＝0.(3)当z对应的点在第一象限时，有a2－2a＞0a2－3a＋2＞0，得a＜0或a＞2a＜1或a＞2，解得a＜0或a＞2.∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．【规律小结】在复平面内，实数全部落在实轴即x轴上，纯虚数在除原点外的虚轴即y轴上，而其他复数均在四个象限内．在第一象限a＞0，b＞0；第二象限a＜0，b＞0；第三象限a＜0，b＜0；第四象限a＞0，b＜0.互动探究将本例中的第(3)“问改为对应的点在”第三象限，又如何求解？解：z对应的点在第三象限，则a2－2a＜0a2－3a＋2＜0，即0＜a＜21＜a＜2，解得1＜a＜2.∴a的取值范围是(1,2)．复数相等(1)a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，(a，b，c，d∈R)．(2)利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化．解题时要把等号两边的复数化为标准...
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