三角函数的最大值与最小值221cossin[]44132cossincos12232sin1[0]yxxxyxxxxyxxxR【例】求下列函数的最值．＝＋，－，；＝＋＋，；＝＋，，．22minmaxsinsin115(sin).2422[,]sin4422212sin2215sin21.4yxxxxxxyxy＝－＋＋＝－－＋因为－，所以－，所以，当＝－【解析】时，＝；当＝时，＝2minmax13cossincos122135cos2sin244415sin(2),26437,.424yxxxxxxyy＝＋＋＝＋＋＝＋＋所以＝＝maxmin212cos0[0].322[0)0[0)3322(]0(]33223;3300.3yxxxxyyxyyxyxy当＝＋＝，且，时，＝当，时，，在，上单调递增；当，时，，在，上单调递减．所以，当＝时，＝＋当＝时，＝求解三角函数在给定区间上的最值时，应注意变量的取值范围．在求三角函数的最值时，应通过三角恒等变换先化简再求值或者利用导数求最值．sincos[0)1sinco1sxxxyxx若【变式练习】，，求＝的值域．221sincossincos21112(1)12sincos2sin()[0)45[)(12]44421(1]2txxtxxtytttxxxxxty令＋＝，则＝，所以＝＝－．又＝＋＝＋，且，，所以＋，，所以－，，所以－，【解析】．与辅助角公式有关的三角函数问题2sin(2)sin(2)2cos.661222fxxxxfxfxx已知函数＝＋＋＋求的【例最大值及最小正周期；求使成立的】的取值范围．2maxsin(2)sin6(2)2cos6sin2coscos2sinsin2cos666cos2sincos2163sin2cos212sin(2)1622213.||21fxxxxxxxxxxxxfxT【因为＝＋＋－＋＝＋＋－＋＋＝＋＋＝＋＋，所以＝＋＝＝】，析＝＝解22sin(2)1261sin(2)625222()666()32{|32}fxxxkxkkkxkkfxxxkxkkZZZ因为，即＋＋，即＋，所以＋＋＋，所以＋．所以使成立的的取值范围是＋，．求三角函数的最值之前往往要进行三角恒等变换，将三角函数式化简．在三角恒等变换中，遇有正、余弦函数的平方，一般要先考虑降次公式，然后应用辅助角公式asinx＋bcosx＝22sin()abx＋等公式进行化简或计算．【变式练习2】已知向量m＝(3sin2x＋2，cosx)，n＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝m·n.求f(x)的最小正周期与单调递减区间．【解析】(1)m＝(3sin2x＋2，cosx)，n＝(1,2cosx)，所以f(x)＝m·n＝3sin2x＋2＋2cos2x＝3sin2x＋cos2x＋3＝2sin(2x＋π6)＋3，所以T＝2π2＝π，令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)所以f(x)的单调递减区间为kπ＋π6≤x≤kπ＋23π(k∈Z)．三角函数的应用【例3】某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.41.0t(时)03691215182124(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内进行训练的具体时间段．sin()122.60,1.03,1.42sin1(024)5126yAtbTTtyt散点图如图．由散点图可知，选择＝＋＋函数模型较为合适．由图可知＝，则＝＝将点，代入，得函数的解析式为＝＋【解析】．24sin1(024)5651sin,62722()666112712()0,1,207111923324.1119tytttkkkktkkktttZZ由＝＋，即－则－＋＋，得－＋＋．令＝，从而得或或所以，应在白天时～时进行训练．三角函数，特别是正弦函数和余弦函数，是现实世界中许多周期现象的数学模型．注意在一个周期现象里有多个量(包括常量与变量)，它们共同描述同一个周期现象．【变式练习3】如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60s转动一圈．途中OA与地面垂直．以OA为始边，逆时针转动θ角到OB.设B点与地面距离为h.(1)求h与θ的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t的函数关系式；(3...
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