用判定定理证明面面垂直【例1】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，F分别是BC，BB1的中点．(1)求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1；(2)若BB1＝BC，求证：平面FAC⊥平面ADC1.1111111111111111111...12..ABCABCDBCADBCCCABCADABCCCADADBCCBADACDACDBCCBADBBCCFCBBCCADFCBBBCBBCCFDBBBCFCDC在正三棱柱－中，因为是的中点，所以因为平面，平面，所以，所以平面又平面，所以平面平面因为平面，平面，所以又因为＝，所以四边形是正方形．又，分别为，的中点，所以【证明】而111..ADCDDFCADCFCAFCFACADC＝，所以平面又平面，所以平面平面要证明面面垂直，只需在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直即可．【变式练习1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.求证：平面PBC⊥平面DEF.PDABCDCDABCDPDDCPDDCPDCDEPCDEPCPDABCDPDBCABCDBCDCBCPDCDEPDCBCDEDEPCPCBCCDEPBCDEDEFPBC因为侧棱平面，且平面，所以，因为＝，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，所以，同样由平面，得，因为底面是正方形，有，所以平面，而平面，所以，又由前面可知，＝，所以平面，而平面，所以平面【证明】平面.DEF面面垂直的性质定理的应用【例2】如下图，已知平面α、β、γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ.【证明】方法1：设α∩γ＝AB，β∩γ＝BC，如图所示．在γ内任取一点P，过P作直线m，n分别垂直于直线AB，BC.因为α⊥γ，β⊥γ，所以m⊥α，n⊥β.又α∩β＝l，所以lα且lβ，所以m⊥l，n⊥l.而m∩n＝P，所以l⊥γ...//.//.///2./.ABBCabaABbBCabababaalalaall设＝，＝，如图所示．在、内分别作直线、，使得，由面面垂直的性质定理得，所以，且，由线面平行的判定定理得又因为，＝，故由线面平行的性质定理得综上，有，，所以方法：本题题目文字少，但有一定难度．只有真正对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应手．面面垂直的性质定理的核心是“垂直于交线，则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线，若无，肯定要向交线作垂线．在不同平面内向交线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题前应认真分析．本题的方法1较简单，但方法2将平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓尽致，不失为一个训练的好题．【变式练习2】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.....ABCBCDDCBCABCBCDBCDCBCDDCABCABABCDCABABACACDCCABACDABABDABDACD因为平面平面，，且平面平面＝，平面，所以平面又平面，所以因为，＝，故根据线面垂直的判定定理得平面而平面，所以平面平面【证明】与垂直有关的探索性问题【例3】如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：MD⊥AC；(2)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.11111..1.BBABCDACABCDBBACBDACBDBBBACBBDMDBBDMDAC证明：因为平面，平面，所以又因为，且＝，所以平面而平面，所以【解析】1111111111111111..../.2///MBBDMCCCDDDCNDCNNNDCOOMBNNDCBDBCBNDCDCABCDDCCDABCDDCCDBNDCCDONNBMONBMONBMONBNOM当点为棱的中点时，平面平面取的中点，的中点，连结交于，连结、因为是的中点，＝，所以又因为是平面与平面的交线，且平面平面，所以平面因为是的中点，所以且＝，所以四边形是平行四边形，所以所111111.OMCCDDOMDMCDMCCCDD以平面，因为平面，所以平面平面本题以立体几何中的棱柱为载体，重点考查立体几何中的垂直关系的探索及推理论证．第(1)问要证线线垂直，可通过线面垂直即可得证；第(2)问是开放性探究问题．要使得平面DMC1⊥平面CC1D1D，关键在于找出其中一个面的一条垂线，而另一个平面恰过这条垂线，从而问题转化为寻求平面CC1D1D的垂线．由条件DB＝BC，可联想到取DC的中点N，则BN就是平面CC1D1D的垂线，再结合平面图形的特点，...
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