图①图②图③例谈中考中的趣味三角形四川省阆中中学杨毅文扬州大学《初中数学教与学》在2009年第8期上刊登了“例谈中考中的趣味数”，本文介绍中考中的趣味三角形。一、折痕三角形例1（陕西省压轴题）如图①、在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形（2）如图②，在矩形ABCD中，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）、如图③，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？思路和解答理解定义，利用定义解决问题，画出满足题意的图形是解题的关键。（1）是等腰三角形．（2）如图④，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形． 折痕垂直平分BE，AB=AE=2，∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．∴四边形ABFE为正方形．∴BF=AB=2，∴F（2，0）．（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下：①当F在边BC上时，如图⑤所示．ABCDEOS△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4．②当F在边CD上时，如图⑥所示，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K． S△EKF=KF?AH≤HF?AH=S矩形AHFD，S△BKF=KF?BH≤HF?BH=S矩形BCFH，∴S△BEF≤S矩形ABCD=4．即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4．下面求面积最大时，点E的坐标．①当F与点C重合时，如图⑦所示．由折叠可知CE=CB=4，在Rt△CED中，ED=22224223CECD∴AE=423∴E（423，2）②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑧所示．此时E（0，2）．综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（423，二、奇异三角形例2（宁波市）阅读下面情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若Rt△ABC是奇异三角形，求::abc；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；图④图⑤图⑥图⑦HK1212121212121212②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．：思路和解答该题需学生读懂定义，用定义解题，再进一步用学过的知识进行拓展（1）设三角形边长是a，则2222aaa，是真命题（2）在Rt△ABC中，222cba 0abc∴2222bac，2222cba∴若Rt△ABC为奇异三角形,一定有2222cab∴)(22222baab∴222ab得ab2 22223aabc∴ac3∴3:2:1::cba（3）① AB是⊙O的直径∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ACB中，222ABBCAC在Rt△ADB中，222ABBDAD 点D是半圆ADB的中点∴弧AD=弧BD∴AD=BD∴22222ADBDADAB∴2222ADCBAC∴2222AECEAC∴△ACE是奇异三角形②由①可得△ACE是奇异三角形∴2222AECEAC当△ACE是直角三角形时：由（2）可得3:2:1::CEAEAC或1:2:3::CEAEACⅠ）当3:2:1::CEAEAC时，老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的小明：那直角三角形中是否存小华：等边三角形一定是奇异三角3:1:CEAC即3:1:CBAC 90ACB∴30ABC∴602ABCAOCⅡ）当1:2:3::CEAEAC时，1:3:CEAC即1:3:CBAC 90ACB∴60ABC∴1202ABCAOC∴AOC的度数为12060或．三、格点三角形例3（龙岩）阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形.老师给小明出了一道题：在如图9所示的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出格点⊿ABC，使AB=AC=5，BC=2；（1）小明的做法是：由勾股定理，得AB=AC=2212=5，BC=2211=2，于是画出线段AB，AC，BC，从而画出格点⊿ABC.请你参考小明的做法，在如图10所示的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出一个格点⊿A’B’C’，使A’B’=A’C’=5，B’C’=10.（直接画图，不写过程）.（2）观察△ABC与△A′B′C...
VIP
