1．复数的概念(1)理解复数的基本概念．(2)理解复数相等的充要条件．(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．2．复数的四则运算(1)会进行复数代数形式的四则运算．(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念①形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的和．.若，则a＋bi为实数，若，则a＋bi为虚数，若，则a＋bi为纯虚数．②复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．③共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R)．④复数的模实部虚部b＝0b≠0a＝0，b≠0a＝b，c＝da＝c，b＋d＝0向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.(2)复数是实数的充要条件①z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥0.(3)复数是纯虚数的充要条件①z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0；②z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0.2．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝(a＋bi)(c－di)(c＋di)(c－di)＝(ac＋bd)＋(bc－ad)ic2＋d2(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】 π2＜2＜π，∴sin2＞0，cos2＜0，∴复数z对应的点(sin2，cos2)位于第四象限．故选D.【答案】D2．已知复数z＝1－i，则z2z－1＝()A．2B．－2C．2iD．－2i【解析】 z＝1－i，∴z2z－1＝(1－i)2－i＝－2i－i＝2.【答案】A3．(2009年全国卷Ⅰ)已知z1＋i＝2＋i,则复数z＝()A．－1＋3iB．1－3iC．3＋iD．3－i【解析】方法一： z1＋i＝2＋i，∴z＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i.∴z＝1－3i.方法二： z1＋i＝2＋i，∴z1－i＝2－i，∴z＝(1－i)(2－i)＝2－3i－1＝1－3i.【答案】B4．若将复数1＋i1－i表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则a＋b＝________.【解析】 1＋i1－i＝i，∴a＝0，b＝1，∴a＋b＝1.【答案】15．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．【解析】 z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，∴复数(z1－z2)i的实部为－20.【答案】－20复数的基本概念当实数m为何值时，z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内．【思路点拨】根据复数分类的条件和复数的几何意义求解．【解析】(1)若z为纯虚数，则lg(m2－2m－2)＝0m2＋3m＋2≠0，解得m＝3.(2)若z为实数，则m2－2m－2＞0m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.(3)若z的对应点在第二象限，则lg(m2－2m－2)＜0m2＋3m＋2＞0，解得－1＜m＜1－3或1＋3＜m＜3.即(1)m＝3时，z为纯虚数；(2)m＝－1或m＝－2时，z为实数；(3)－1＜m＜1－3或1＋3＜m＜3时，z的对应点在第二象限内．复数相等设存在复数z同时满足：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi.由(1)知x＜0，y＞0.又z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)，故(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，∴x2＋y2－2y＝82x＝a，即4(y－1)2＝36－a2， y＞0，∴4(y－1)2≥0，∴36－a2≥0，即a2≤36，－6≤a≤6，又2x＝a，而x＜0，∴a＜0，故－6≤a＜0，∴a的取值范围为[－6,0)．(1)复数相等当且仅当复数的实部与虚部分别相等，利用这一性质可以解决以下问题：①解复数方程；②求方程有解时系数的值；③求轨迹方程．(2)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其转化的依据就是复数相等的充要条件，基本思路是：设出复数的代数形式z＝x＋yi(x，yR)∈，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的...
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