数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何考纲要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．热点提示高考中立体几何为必考内容，并且通常有一道综合题，常居于六个解答题的中间位置，难度不是很大，但由于考查空间想象能力，故学生掌握情况差异比较大．如果用向量法来解可以降低难度，并且多数情况下都可以用向量的坐标运算来解题，为此要加强立体几何中的向量方法的学习.数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何1．异面直线所成的角(1)过空间任一点O分别作异面直线a与b的a′与b′，那么直线a′与b′所成的的角，叫做异面直线a与b所成的角．平行线锐角或直角数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何(2)异面直线所成角的向量公式两异面直线a、b的分别为m和n.当m与n的夹角不时，异面直线a、b所成的角θ与m和n的夹角相等；当m与n的夹角90°时，直线a、b所成的角θ与m和n的夹角所以直线a、b所成的角θ的余弦值为.方向向量大于90°大于互补．数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何2．直线和平面所成的角(1)平面的斜线与它在平面上的所成的角叫做这条斜线与平面所成的角．(2)直线与平面所成角的向量公式直线a的和平面α的法向量分别为m和n，若m与n的夹角不大于90°时，直线a与平面α所成的角等于m与n的夹角的；若m与n的夹角90°时，直线a与平面α所成的角等于m与n的夹角的，所以直线a的方向向量和平面α所成的角的正弦值为射影方向向量余角大于补角的余角数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何3．二面角1．过二面角α—l—β棱上任一点O作于棱l的平面，与面α、β的交线分别为OA、OB，那么∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角．2．二面角的向量公式平面α与平面β的向量分别为m和n，则二面角与m、n的夹角θ相等或互补．垂直法数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确解析： a·b＝－12＋36－24＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.答案：B数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析： n1·n2＝－6－3－20＝－29.又n1不平行于n2，∴α，β相交但不垂直．答案：C数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错解析：设l与α所成角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.答案：C数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中平面AB1D1与平面A1BD所成的角为θ(0°≤θ≤90°)，则cosθ＝________.解析：如右图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，设正方体棱长为1，数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，证明：平面AED⊥平面A1FD1.证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何令y＝1，则z＝－2，此时平面AED的法向量为n＝(0,1，－2)；同理可以求出平面A1FD1的一个法向量u＝(0,2,1)．由u·n＝0知u⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何【例1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.数学高考总复习人教A版·(理)第七模块立体几何证明一：如下右图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直...
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