§8.7§8.7立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(Ⅰ)——(Ⅰ)——证明平行与垂直证明平行与垂直数学北(理)第八章立体几何1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP→＝ta，则此向量方程叫作直线l的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→，叫作空间直线的向量参数方程．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理利用空间向量解决立体几何中的平行问题(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线．2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα⇔.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lα⇔.基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥u利用空间向量解决立体几何中的平行问题(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线．(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔⇔.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔⇔.基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理(2)证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内．②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内．③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．同时要注意强调直线不在平面内．u1∥u2v1⊥v2v1·v2＝0u1⊥u2u1·u2＝0v∥u4．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝.基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．|cos〈m1，m2〉||cos〈m，n〉|题号答案解析12345A基础知识·自主学习基础自测平行407，－157，4CC题型分类·深度剖析题型一利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.解析思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型一利用空间向量证明平行问题证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行；也可以寻找平面的法向量．解析思维启迪探究提高【例1】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.题型分类·深度剖析题型一利用空间向量证明平行问题证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，解析思维启迪探究提高则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，【例1】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.动画展示题型分类·深度剖析题型一利用空间向量证明平行问题于是MN→＝12，0，12，解析思维启迪探究提高【例1】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴n＝(1，－1，－1)．题型分类·深度剖析题型一利用空间向量证明平行问题∴MN→⊥n，又MN平面A1BD，解析思维启迪探究提高【例1】如图...
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