【考纲下载】掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.第十章排列、组合、二项式定理第1讲两个计数原理1．分类计数原理(也称加法原理)：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．分步计数原理(也称乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn提示：(1)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，其次要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么．选择合理简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复和遗漏．(2)对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清晰．1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有行车路线()A．24种B．16种C．12种D．10种解析：起点有4种可能，终点有3种可能．因此，行车路线共有4×3＝12(种)．答案：C2．3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为()A．6B．5C．3D．2解析：“完成这件事”即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3＋2＝5(种)不同的选法．答案：B3．5个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且报一所院校，则不同的报名法共有()A．35种B．53种C．种D．种解析：其中一个报定后，不影响第二个人报考，故每个人都有3种报考方法，有3×3×3×3×3＝35(种)．答案：A4．所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有________个．解析：个位为0时十位数字可以有9种填法，个位为1时，十位数字可有8种填法，…，由分类计数原理共有9＋8＋7＋…＋1＝45(个)．答案：45分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法，每一类的各种方法都是相互独立的，每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事．解决该类问题应从简单入手分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度考虑问题．【例1】在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素，又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数．思维点拨：确定分类的依据，可按a分6类解决．解：按P点的坐标a将其分为6类：(1)若a＝1，则b＝5或6，有2个点；(2)若a＝2，则b＝5或6，有2个点；(3)若a＝3，则b＝5或6或4，有3个点；(4)若a＝4，则b＝3或5或6，有3个点；(5)若a＝5，则b＝1,2,3,4,6，有5个点；(6)若a＝6，则b＝1,2,3,4,5，有5个点．∴共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20(个)点．变式1：从1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？解：当一个加数是1时，另一个加数只能是20,1种取法．当一个加数是2时，另一个加数可以是19,20,2种取法．当一个加数是3时，另一个加数可以是18,19,20,3种取法．……当一个加数是10时，另一个加数可以是11,12，…，20,10种取法．当一个加数是11时，另一个加数可以是12,13，…，20,9种取法．……当一个加数是19时，另一个加数是20,1种取法．由分类加法计数原理可得共有1＋2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100(种)取法.利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．【例2】乒乓球队的10名队员有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？思维点拨：考虑队员的出场次序，应用分步乘法计数原理进行计数．按出场位置顺序逐一安排．解：第一位置队员的安排有3种方法；第二位置队员的安排有7种方法；第三位置队员的安排有2种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五位置队员的安排只有1种方法．由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252.变式2：...
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