核心素养测评五十椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019·北京高考)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【解析】选B.离心率平方e2===,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.2.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)【解析】选D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3,又b=4,所以a==5,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).3.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为()A.8B.6C.5D.4【解析】选A.椭圆+=1(a>b>0)的离心率e==,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,所以b===4,则椭圆短轴长为2b=8.4.(多选)(2020·青岛模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点,则下列说法正确的是()A.椭圆C的方程为+x2=1B.椭圆C的方程为+y2=1C.|PQ|=D.△PF2Q的周长为4【解析】选ACD.由已知得,2b=2,b=1,=,又a2=b2+c2,解得a2=3.所以椭圆方程为x2+=1.如图:所以|PQ|===,△PF2Q的周长为4a=4.5.已知点P(x1,y1)是椭圆+=1上一点,F1,F2是左、右焦点,若∠F1PF2取最大值时,则△PF1F2的面积是()A.B.12C.16(2+)D.16(2-)【解析】选B.因为椭圆方程+=1,所以a=5,b=4,c==3,因此,椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0),根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,∠F1PF2取最大值,则此时△PF1F2的面积S=2××3×4=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·南阳模拟)已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,过点F且倾斜角为120°的直线与椭圆C交于第一象限一点P,若△POF为正三角形,则椭圆C的离心率为__________.【解析】因为|OF|=c,△POF为正三角形,所以|PO|=c,则点P的坐标为,故有整理得e4-8e2+4=0,解得e2=4-2,所以e==-1.答案:-17.以椭圆C:+=1在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为________;该双曲线的渐近线方程为________.【解析】椭圆C:+=1在x轴上的顶点为(±,0),焦点为(±1,0),设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),可得a=1,c=,b=2,可得x2-=1.双曲线的渐近线方程为:y=±2x.答案:x2-=1y=±2x8.点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q,若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是________.【解析】不妨设圆M与椭圆相切于左焦点F,设M(-c,yM),由圆的性质可知:|MF|=|MQ|=|MP|=|yM|,则=-c2,即|PQ|2=4-4c2,由△MPQ为钝角三角形,即∠PMQ为钝角,则cos∠PMQ==<0,所以2c2-<0.又因为M(-c,yM)在椭圆上,代入化简得=,故2c2-<0,化简得-4+1>0,即e4-4e2+1>0,解得e2<2-或e2>2+,又e∈(0,1),所以e2<2-,故0b>0)的离心率e=,且椭圆C经过点(2,).(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B两点,若线段AB恰被点P所平分,求直线l的方程.【解析】(1)由题意得解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意点P在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得+=0,AB的中点为P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得+=0,得kAB==-.所以直线l的方程为y-1=-(x-2),即3x+2y-8=0.10.若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2.(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程.(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.【解析】(1)设AB的中点为M,则M1,,由得+(y1-y2)(y1+y2)=0,所以(x1-x2)+(y1-y2)=0⇒=-,即kAB=-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.(2)由题意知AB斜率存在,设直线AB:y=kx+m.由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,x1+x2=-=2,即9k2+9km+1=0,①因为A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,所以k<0,m>0,②Δ=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)>0,即9k2-m2+1>0,③结合①②得m=(-k)+≥,当且仅当k=-时,取等号,此时,k=-,m=满足③.所以直线AB在y轴上截距的最小值为.(15分钟35分)1.(5分)(2020·济南模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相...
