第3章变化率与导数单元综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列各式正确的是()A.(sina)′＝cosa(a为常数)B.(cosx)′＝sinxC.(sinx)′＝cosxD.(x－5)′＝－x－6解析：由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6，只有C正确．答案：C2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()A.y＝2x＋1B.y＝2x－1C.y＝－2x－3D.y＝－2x－2解析： y′＝＝，∴k＝y′x＝－1＝＝2.∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A3.若f′(x0)＝－3，则lim等于()A.－3B.－6C.－9D.－12解析：lim＝4lim＝4f′(x0)＝－12.答案：D4.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则点P的横坐标的取值范围为()A.[－1，－]B.[－1,0]C.[0,1]D.[，1]解析：设点P的坐标为(x0，y0)． y＝x2＋2x＋3，∴y′＝2x＋2. 曲线在点P(x0，y0)处的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，∴曲线在点P处的切线的斜率k∈[0,1]．∴0≤2x0＋2≤1.∴－1≤x0≤－.答案：A5.函数y＝的导数是()A.－B.C.－D.－解析：y＝()′＝＝＝－.1答案：C6.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是()A.14B.4C.10D.6解析：v(t)＝s′(t)＝6t2－10t,∴a(t)＝v′(t)＝12t－10.当t＝2时，a(2)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.答案：A7.下列结论正确的个数为()(1)若f(x)＝sin2x，则f′(x)＝2cos2x；(2)若f(x)＝，则f′(x)＝－；(3)若f(x)＝，则f′(3)＝－.A.0B.1C.2D.3解析： (sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋2sinx(cosx)′＝2cos2x，∴(1)正确； ()′＝(x－)′＝－x－＝－，∴(2)正确； f′(x)＝()′＝(x－2)′＝－2x－3＝－，∴f′(3)＝－＝－，∴(3)正确．答案：D8.已知两条曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为()A.0B.－C.－D.0或－解析：由题意，得两曲线在x＝x0处的切线的斜率相等，所以2x0＝－3x，解得x0＝0或－.答案：D9.若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A.h′(a)<0B.h′(a)>0C.h′(a)＝0D.h′(a)的符号不定解析：根据导数的几何意义，h′(a)是切线的斜率，∴h′(a)＝－2<0.答案：A10.若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图像是()2解析： f′(x)＝2x＋b，∴排除选项B，D.又 f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，∴－>0.∴b<0.故选A.答案：A11.已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A.1B.3C.－4D.－8解析：如图所示，由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)． 点P，Q在抛物线x2＝2y上，∴∴∴P(4,8)，Q(－2,2)，又 抛物线可化为y＝x2，∴y′＝x，∴过点P的切线斜率为y′x＝4＝4，∴过点P的切线为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.又 过点Q的切线斜率为y′x＝－2＝－2，∴过点Q的切线为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.联立解得∴点A的纵坐标为－4.答案：C12.若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A.64B.32C.16D.8解析： y＝x－，∴y′＝－x－，∴切线的斜率k＝－a－，∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．令y＝0，得x＝3a.令x＝0，得y＝a－.由题意，得a>0，∴·3a·a－＝18，故a＝64.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)．3∴f′(1)＝－2.∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.答案：－414.设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)，若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，则ab的值为________．解析：f′(x)＝3x2－3a，∴f′(2)＝12－3a.由题意知12－3a＝0，∴a＝4.又切点在直线y＝8上，∴f(2)＝8－6a＋b＝8.∴b＝24.∴ab＝96.答案：9615.已知抛物线y＝f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，则a＝________，b＝________.解析： 抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.①又过点(1,1)的抛物...
