第四讲三角函数与解三角形的综合问题1．(2019·黔东南州一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA－asinB＝0.(1)求A；(2)已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．解析：(1)∵bcosA－asinB＝0.∴由正弦定理可得：sinBcosA－sinAsinB＝0，∵sinB>0，∴cosA＝sinA，∴tanA＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵a＝2，B＝，A＝，∴C＝，∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝×2×6＝6.2．(2019·崇明区一模)已知函数f(x)＝cosx·sinx＋cos2x－.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，a＝3，b＝4.求△ABC的面积．解析：(1)函数f(x)＝cosx·sinx＋cos2x－＝sin2x＋cos2x＝sin，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由f(A)＝，即sin＝，△ABC是锐角三角形，∴2A＋＝，可得A＝，余弦定理：cosA＝＝，解得：c＝2＋1或c＝2－1(舍去)，△ABC的面积S＝bcsinA＝4＋.3．(2019·涪城区校级模拟)将函数f(x)＝2sin的图象沿x轴向左平移φ(其中，0<φ<π)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到偶函数g(x)的图象．(1)求g(x)的解析式；(2)若g＝，α∈(0，π)，求sinα的值．解析：(1)将函数f(x)＝2sin的图象沿x轴向左平移φ个单位长度，得y＝f(x＋φ)＝2sin的图象；再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝2sin的图象，即g(x)＝2sin；又g(x)为偶函数，则＋φ＝，解得φ＝，所以g(x)＝2cos2x.(2)由(1)知，g(x)＝2cos2x，则g＝2cos＝，所以cos＝；又α∈(0，π)，所以sin＝，所以sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.4.(2019·长春二模)如图，在三角形ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，cos∠ACB＝.(1)求AC的长；(2)作CD⊥BC，连接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面积．解析：(1)由sin∠ACB＝，AC＝sinB＝2.(2)cos∠ACD＝sin∠ACB＝，设CD＝3m，AD＝2m，有4m2＝4＋9m2－2·2·3m·，m＝1或m＝，当m＝1时，CD＝3，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.当m＝时，CD＝，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.5．(2019·江门一模)平面四边形ABCD中，边AB＝BC＝5，CD＝8，对角线BD＝7.(1)求内角C的大小；(2)若A、B、C、D四点共圆，求边AD的长．解析：(1)在△BCD中，cosC＝＝，C＝.(2)因为A、B、C、D四点共圆，所以A＝π－C＝在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2×AB×AD×cosA，49＝25＋AD2＋5AD，解得AD＝3或AD＝－8.由于AD>0，所以AD＝3.6．(2019·泉州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝5，(a＋b)sinA＝2bsin(A＋C)．(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)点D在边AB上，AD＝2BD，CD＝，求AB.解析：(1)证明：∵(a＋b)sinA＝2bsin(A＋C)＝2bsinB，∴由正弦定理＝，可得：a(a＋b)＝2b2，整理可得(a＋2b)(a－b)＝0，∵a＋2b>0，∴a＝b，△ABC为等腰三角形，得证．(2)设BD＝x，则AD＝2x，由余弦定理可得：cos∠CDA＝，cos∠CDB＝，∵∠CDA＝π－∠CDB，∴＝－，解得：x＝2，∴AB＝6.
