高二数学函数的最大值和最小值知识精讲人教版一.本周教学内容：高三新课：函数的最大值和最小值二.知识讲解：一般地，设是定义在上的函数，在（）内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：1.求在内的极值（极大值或极小值）；2.将的各极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。[例1]已知在区间上的最大值是5，最小值为，求解析式。解：由，则令，则在区间上的根为，且（1）当时，列表如下（）0（0，1）1+0－函数在处有极大值，又由的单调性，则最大值为，由已知。而最小值为与的最小者而，则，即为最小值由已知，则，所以（2）当时，同理可得为最小值，故的最大值为与的最大者则为最大值即则，所以综上[例2]已知在区间上，函数的最大值为1，最小值为，并且，求与的值。解：由，则令，则，函数在区间上的增减性如下表0（）1+－+极大极小用心爱心专心由，则，即又由，，则所以，由已知解得注：求闭区间上连续函数的最值问题，须比较极值点与区间端点的函数值的大小。[例3]已知两个函数，，其中。（1）对任意都有成立，求的取值范围。（2）对任意的，都有，求的取值范围。解：设，则对任意的都有成立等价于函数的最小值发即，其中，令，则或，列表如下2（2，3）3+0－0+由上表可知由，可得（2）对任意，都有成立等价于的最大值不大于的最小值，其中以下先求的最小值，由，则有，即令，则或，列表如下（）3+0－0+111所以以下再求的最大值，，利用二次函数的图象性质，可得，于是即[例4]用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的柜架，如果所制的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器最大，并求出它的最大容积。用心爱心专心解：设容器底面边长为，则另一边长为，高为=由和，得设容器的容积为，则有（）整理，得则，令，有即，解得，（不合题意舍去）从而，在定义域（0，1.6）内只有在处使得，由题意，若过小（接近0）或过大（接近1.6）时的值很小，（接近0），因此，当时，取最大值，即此时，高为，所以，当高为时，容器最大的容积为。【模拟试题】1.函数在闭区间上的最大值，最小值分别是（）A.B.C.D.2.函数（为常数）在上有最小值3，那么在上的最大值是。3.设函数=（1）求的单调区间；（2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围。用心爱心专心[参考答案]http://www.DearEDU.com1.C提示：先求极值，令，，，，，所以，最大值为3，最小值为。2.43提示：，令，则当时，，则函数在上单调递增当时，，则函数在上单调递减又由，，故则，所以，，且在上的最大值是3.解：（1），其判别式当时，由，得或则的递增区间为递减区间为当时，恒成立，则的递增区间为（2）时，恒成立，因此在上是增函数，从而在（1，2）上递增，则在恒成立，解得故的取值范围是用心爱心专心
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