解答题(三)17．已知a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn.(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)证明：由题知，＝＝2， b1＝a2－a1＝4－2＝2，∴b1＋2＝4，∴数列{bn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可得，bn＋2＝4·2n－1，故bn＝2n＋1－2. an＋1－an＝bn，∴a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，a4－a3＝b3，…an－an－1＝bn－1.累加得，an－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1(n≥2)，an＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n－2)＝－2(n－1)＝2n＋1－2n，故an＝2n＋1－2n(n≥2)． a1＝2＝21＋1－2×1，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－2n(n∈N*)．18．(2019·安徽江淮十校5月考前最后一卷)如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的底面ABC是等边三角形，侧面AA′C′C⊥底面ABC，D是棱BB′的中点．(1)求证：平面DA′C⊥平面ACC′A′；(2)求平面DA′C将该三棱柱分成上、下两部分的体积比．解(1)证明：如图，取AC，A′C′的中点O，F，连接OF与A′C交于点E，连接DE，OB，B′F，则E为OF的中点，OF∥AA′∥BB′，且OF＝AA′＝BB′，所以BB′FO是平行四边形．又D是棱BB′的中点，所以DE∥OB.侧面AA′C′C⊥平面ABC，且OB⊥AC，所以OB⊥平面ACC′A′，则DE⊥平面ACC′A′，又DE⊂平面DA′C，所以平面DA′C⊥平面ACC′A′.(2)连接A′B，设三棱柱ABC－A′B′C′的体积为V.故四棱锥A′－BCC′B′的体积VA′－BCC′B′＝V－V＝V，又D是棱BB′的中点，△BCD的面积是BCC′B′面积的，故四棱锥A′－B′C′CD的体积VA′－B′C′CD＝VA′－BCC′B′＝×V＝V，故平面DA′C将该三棱柱分成上、下两部分的体积比为1∶1.19．(2019·江西南昌第一次模拟)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换(用频率估计概率)．(1)根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；(2)根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支．若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的支数；(3)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．解(1)由图可知，各组中值依次为3100,3300,3500,3700，对应的频率依次为0.1,0.3,0.4,0.2，故B型节能灯的平均使用寿命为3100×0.1＋3300×0.3＋3500×0.4＋3700×0.2＝3440小时．(2)由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B型节能灯需更换的支数为5×0.8＝4.(3)若选择A型节能灯，一年共需花费5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870元；若选择B型节能灯，一年共需花费(5＋4)×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5元．因为967.5＞870，所以该商家应选择A型节能灯．20．(2019·河北石家庄模拟一)已知函数f(x)＝lnx－4ax，g(x)＝xf(x)．(1)若a＝，求g(x)的单调区间；(2)若a＞0，求证：f(x)≤－2.解(1)由a＝，g(x)＝xlnx－x2(x＞0)，g′(x)＝lnx－x＋1，令h(x)＝lnx－x＋1，h′(x)＝，故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，h(x)max＝h(1)＝0，从而当x＞0时，g′(x)≤0恒成立，故g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：f′(x)＝－4a＝，由a＞0，令f′(x)＝0，得x＝，故f(x)在上单调递增，上单调递减，所以f(x)max＝f＝ln－1，只需证明ln－1≤－2，令t＝＞0，即证lnt－t＋1≤0(*)，由(1)易知(*)式成立，故原不等式成立．21．(2019·广东深圳适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线x＋y＋m＝0上存在点G，且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直...
VIP
