第15练存在与恒成立问题[题型分析·高考展望]“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决.此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力.训练时应注意破题方法的研究.常考题型精析题型一恒成立问题例1(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a)；(2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.点评恒成立问题一般与不等式有关，解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值，从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值.变式训练1(2015·山东)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围.题型二存在性问题例2(2014·辽宁)已知函数f(x)＝(cosx－x)(π＋2x)－(sinx＋1)，g(x)＝3(x－π)cosx－4(1＋sinx)·ln(3－).证明：(1)存在唯一x0∈(0，)，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈(，π)，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.点评“存在”是特称量词，即“有的”意思，证明这类问题的思路是想法找到一个“x0”使问题成立即可，必要时需要对问题进行转化.若证“存在且唯一”则需说明除“x0”外其余不能使命题成立，或利用函数单调性证明此类问题.变式训练2(2015·浙江)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R).(1)当b＝＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围.高考题型精练1.(2014·辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A.[－5，－3]B.[－6，－]C.[－6，－2]D.[－4，－3]2.(2015·大连模拟)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为()A.1B.2C.3D.43.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)4.若函数f(x)＝(x＋1)·ex，则下列命题正确的是()A.对任意m<－，都存在x∈R，使得f(x)
－，都存在x∈R，使得f(x)－，方程f(x)＝m总有两个实根5.(2015·天津模拟)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0)B.(－∞，4]C.(0，＋∞)D.[4，＋∞)6.若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()A.ex≤1＋x＋x2B.≤1－x＋x2C.cosx≥1－x2D.ln(1＋x)≥x－x27.已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－x＋，若任意给定的x0∈[0,2]，总存在两个不同的xi(i＝1,2)∈[0,2]，使得f(xi)＝g(x0)成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－1)B.(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.[－1,1]8.(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立则实数m的取值范围是________.9.设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________.10.已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对于任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________.11.(2015·湖南)已知a>0，函数f(x)＝aexcosx(x∈[0，＋∞)).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.(1)证明：数列{f(xn)}是等比数列；(2)若对一切n∈N*，xn≤|f(xn)|恒成立，求a的取值范围.12.(2014·陕西)设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；(3)若对任意b>a>0，<1恒成立，求m的取值范围.答案精析第15练存在与恒成立问题常考题型精析例1(1)解因为a>0，－1≤x≤1.所以①当00，故f(x)在(a,1)上是增函数.所以g(a)＝f(a)＝a3.②当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1,1)上是减函数，所以，g(a)＝f(1)＝－2＋3a.综上，g(a)＝(2)证明令h...
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