第27讲数系的扩充与复数的引入课时达标一、选择题1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝()A．3－2iB．3＋2iC．－3－2iD．－3＋2iD解析依题意得i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.故选D．2．若复数z满足方程z＋2＝zi(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数等于()A．－1－iB．－1＋iC．1＋iD．1－iB解析因为z＋2＝zi，所以z(1－i)＝－2，所以z＝＝＝－1－i，所以＝－1＋i.故选B．3．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是()A．－2B．－1C．0D．C解析因为＝＝－i＝a＋bi，所以所以lg(a＋b)＝lg1＝0.故选C．4．已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝()A．0B．1C．－1D．±1C解析易得解得a＝－1.5．满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝()A．＋iB．－iC．－＋iD．－－iB解析易得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝＝－i.故选B．6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝()A．2B．－2C．±2D．－B解析由题意可得＝－＋i，即＝＝－＋i，所以＝－，＝，所以a＝－2.故选B．二、填空题7．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·＝________.解析因为z＝1＋2i，所以＝1－2i.所以·＝z·＋1＝5＋1＝6.答案68．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.解析因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，所以所以或所以a2＋b2＝5，ab＝2.答案529．若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z＝________.解析因为(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，所以z＝＝＝1－2i.答案1－2i三、解答题10．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解析(1)＝＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝＝－－i.11．如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示复数0，3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO，BC所表示的复数；(2)对角线CA所表示的复数；(3)B点对应的复数．解析(1)AO＝－OA，所以AO所表示的复数为－3－2i.因为BC＝AO，所以BC所表示的复数为－3－2i.(2)CA＝OA－OC，所以CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB＝OA＋OC，所以OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.12．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解析这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z＋是实数，所以b－＝0.又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，所以a＋3＋b＝0.②由①②得解得或故存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i.13．[选做题](2019·巴蜀中学检测)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B解析由新定义可知e2i＝cos2＋isin2，而2弧度为第二象限的角，所以cos2＜0，sin2＞0，对应点(cos2，sin2)在第二象限．
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