3.1数系的扩充[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－iB．1＋iC．－3＋3iD．3＋3i解析：选A．－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i，其实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2B．a＝0C．a≠1且a≠2D．a≠1或a≠2解析：选B．因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝()A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i解析：选B．由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠bD．a≤0解析：选D．复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故应选D．5．下列命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选A．在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A．6．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，z1＝z2，则θ等于________．解析：由复数相等的定义，可知所以cosθ＝，sinθ＝.所以θ＝＋2kπ，k∈Z.答案：＋2kπ，k∈Z7．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．解析：由z1>z2，得1即解得a＝0.答案：08．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1，3}，M∩P＝{3}，则实数m的值为________．解析：因为M∩P＝{3}，所以(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3.所以所以m＝－1.答案：－19．是否存在实数m使复数z＝(m2－m－6)＋i为纯虚数？若存在，求出m的值，否则，请说明理由．解：假设存在实数m使z是纯虚数，则由①，得m＝－2或m＝3.当m＝－2时，②式左端无意义；当m＝3时，②式不成立，故不存在实数m使z是纯虚数．10．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，由复数相等的充要条件得解得或所以方程的实根为x＝或x＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.[B能力提升]1．若复数z＝(sinθ＋cosθ＋1)＋(sinθ－cosθ)i是纯虚数．则sin2017θ＋cos2017θ＝________.解析：由题意得由①得sinθ＋cosθ＝－1，又sin2θ＋cos2θ＝1.所以或所以sin2017θ＋cos2017θ＝(－1)2017＋02017＝－1.答案：－12．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(3－m)(m∈R)，若z是纯虚数，则m＝________．解析：因为z为纯虚数，所以所以所以m＝－1.答案：－13．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．解：由题意，得即故m＝3，即实数m的值为3.4．(选做题)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解：因为M∪P＝P，所以M⊆P，所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝1.2由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得解得m＝2.综上可知，实数m的值为1或2.3
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