2.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．(2015·江西南昌四校联考)已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支[答案]C[解析] |PM|－|PN|＝|MN|＝4，∴动点P的轨迹是一条射线．2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为()A．(±5,0)B．(0，±)C．(±，0)D．(0，±)[答案]D[解析]双曲线3x2－4y2＝－12化为标准方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝，又 焦点在y轴上，故选D．3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－10C．k≥0D．k>1或k<－1[答案]A[解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－10，b>0)又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，∴，∴.解法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则，解得.故所求双曲线的标准方程为－＝1.8．双曲线－y2＝1的一个焦点为F(3,0)，则m＝________.[答案]8[解析]由题意，得a2＝m，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝m＋1，又c＝3，∴m＋1＝9，∴m＝8.9.已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹是______________.[答案]以A，B为焦点的双曲线的下半支[解析] A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a，∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2<|AB|＝14，∴点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支．三、解答题10．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x轴上，c＝且经过点(－5,2)；(2)过P(3，)和Q(－，5)两点．[解析](1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得，解之得a2＝5，b2＝1，故所求双曲线方程为－y2＝1.(2)设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，由题意得，解之得.∴所求双曲线方程为－＝1.一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()A．－y2＝1B．x2－＝1C．－＝1D．－＝1[答案]B[解析]由条件知P(，4)在双曲线－＝1上，∴－＝1，又a2＋b2＝5，∴，故选B．2．(2015·广州市检测)设F1、F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4B．8C．24D．48[答案]C[解析]由3|PF1|＝4|PF2|知|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.3．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．x2－＝1(x<－1)B．x2－＝1(x>1)C．x2＋＝1(x>0)D．x2－＝1(x>1)[答案]B[解析]定义法：如图，|PM|－|PN|＝|BM|－|BN|＝2，P点的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．8[答案]B[解析]在△PF1F2中，|...
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