2.2.2反证法课时演练·促提升A组1.实数a,b,c不全为0等价于()A.a,b,c全不为0B.a,b,c中最多只有一个为0C.a,b,c中只有一个不为0D.a,b,c中至少有一个不为0答案:D2.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根,那么a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为()A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都不是偶数C.a,b,c中至多一个是偶数D.至多有两个偶数解析:“a,b,c中存在偶数”,即“a,b,c中至少有一个偶数”,故其否定为“a,b,c都不是偶数”.选B.答案:B3.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=(n=1,2,…),试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时应为()A.对任意的正整数n,有xn=xn+1B.存在正整数n,使xn=xn+1C.存在正整数n,使xn≥xn+1D.存在正整数n,使xn≤xn+1解析:全称命题的否定是特称命题.答案:D4.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则()A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一个不小于解析:假设a,b,c均小于,则a+2b+c<+1+=2,与已知矛盾,故选D.答案:D5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两人是对的,则获奖的歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的话都是假的,同理可推知乙、丙、丁是否获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.答案:C6.用反证法证明如果a>b,那么,假设的内容应是.答案:7.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数===0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.解析:据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数.即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数.又因为a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式为0.所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.答案:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)8.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:不成等差数列.证明:假设成等差数列,则=2,1即a+c+2=4b,而b2=ac,即b=,所以a+c+2=4,所以()2=0,即.从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,故不成等差数列.9.已知f(x)是R上的增函数,a,b∈R.证明:(1)若a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);(2)若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0.证明:(1)因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,又f(x)是R上的增函数,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),由不等式的性质可知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).(2)假设a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a),所以f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b),这与已知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)矛盾,所以假设不正确,所以原命题成立.B组1.两条相交直线l,m都在平面α内且都不在平面β内.命题甲:l和m中至少有一条与平面β相交,命题乙:平面α与β相交,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若已知α与β相交,设交线为a,假设l,m都与平面β平行,则a∥l,a∥m,所以l∥m,这与已知l与m相交矛盾,所以乙甲⇒.若已知l,m中至少有一条与平面β相交,不妨设l∩β=A,则点A∈α,且点A∈β,所以α与β必有一条过点A的交线,即甲乙⇒.故选C.答案:C2.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数),且a>b,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为()A.0B.1C.2D.无穷多解析:假设两个数列中的第n项相同,则由an=bn,得an+2=bn+1,即(a-b)n=-1. a>b,∴a-b>0.又n∈N*,∴(a-b)n>0.这与(a-b)n=-1<0矛盾,∴两个数列中没有序号与数均相同的项.答案:A3.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是.解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有解得{a|-2
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