课时作业24一、选择题1．下列结论正确的个数为()①y＝ln2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝.A．0B．1C．2D．3解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证．答案：D2．曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标是()A.B.或C.D.解析：y′＝′＝－，由－＝－4，解得x＝±.所以P点的坐标为或，故选B.答案：B3．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标()A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.以上都不是解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.答案：A4．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x()A.在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的快B.在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢C.在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快D.以上都不对解析：函数的导数表示函数的增长速度，由于f′(x)＝2x，g′(x)＝2.若2x>2即x>1时f(x)增长速度比g(x)增长速度快，若2x<2即x<1时f(x)比g(x)增长速度慢，在x＝2时两者增长速度相同．故选D.答案：D二、填空题5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.解析：∵(10x)′＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.1答案：10ln106．曲线y＝x2的垂直于直线x＋y＋1＝0的切线方程为________．解析：∵y′＝2x，直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，所以2x＝1，x＝，代入y＝x2得y＝，即与直线x＋y＋1＝0垂直的曲线y＝x2的切线的切点坐标为(，)，故所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.答案：4x－4y－1＝07．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为__________．解析：在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝.∴an＝lg.∴a1＋a2＋…＋a99＝lg＋lg＋…＋lg＝lg(××…×)＝lg＝－2.答案：－2三、解答题8．求抛物线y＝x2过点(，6)的切线方程．解：设此切线过抛物线上的点(x0，x)．由导数的意义知此切线的斜率为2x0.又∵此切线过点(，6)和点(x0，x)，∴＝2x0.由此x0应满足x－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)和(3,9)．∴所求切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．化简得y＝4x－4，y＝6x－9.9．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，试求k的值．解：设切点坐标为(x0，y0)．∵y＝lnx，∴y′＝，∴y′|x＝x0＝＝k.∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝lnx上，∴把k＝代入①式得y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.∴k＝＝.23
