课时作业20抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析由题意知，点(2,4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点？(2)两个公共点？(3)没有公共点？解将直线l和抛物线C的方程联立得消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝，此时y＝1.∴直线l与抛物线C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；③当Δ<0，即k>1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离．综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；(3)当k>1时，直线l与抛物线C没有公共点.知识点二中点弦问题3.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为__________．答案y＝x解析由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B代入抛物线方程得①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．又y1＋y2＝4，∴＝＝1.∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则∠A1FB1等于()A.45°B.90°C.60°D.120°答案B1解析如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1.又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO.同理∠BFB1＝∠B1FO.于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.故选B.5．已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，求|PQ|的最小值．解设与直线x＋y＋5＝0平行且与抛物线y2＝2x相切的直线方程是x＋y＋m＝0，则由消去x得y2＋2y＋2m＝0，令Δ＝4－8m＝0，得m＝，因此|PQ|的最小值等于直线x＋y＋5＝0与x＋y＋＝0间的距离，即等于＝.一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案C解析由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.又由Δ＝42(k＋2)2－16k2＞0，得k＞－1.则由＝4，得k＝2.故选C.2．已知抛物线y2＝8x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为()A.2x－y－4＝0B.2x＋y－4＝0C.2x－y＋4＝0D.2x＋y＋4＝0答案A解析设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＝8x1，y＝8x2，两式相减，得(y1＋y2)·(y1－y2)＝8(x1－x2)．又P(3,2)是AB的中点，∴y1＋y2＝4.又直线l的斜率存在，∴直线l的斜率k＝＝2，∴直线l的方程为2x－y－4＝0，故选A.3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的值为()A.4B.－4C.p2D.－p2答案B解析解法一：设过焦点F的直线方程为x＝my＋.联立得y2－2pmy－p2＝0.由根与系数的关系，得y1y2＝－p2.又x1＝，x2＝，所以x1x2＝＝.于是＝＝－4.故选B.解法二：采用特例法，当直线与x轴垂直时，易得A，B，＝－4.故选B.24．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案C解析设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得消去x得到关于y的方程ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点；当k≠0时，令Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k<0或0
