【成才之路】2015-2016学年高中数学2.2.2抛物线的简单性质练习北师大版选修1-1一、选择题1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是()A．y2＝xB．x2＝yC．y2＝－x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝y[答案]D[解析] 点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p，p＝，4＝6p′，p′＝.2．(2014·山师大附中高二期中)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点恰好与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则p＝()A．1B．2C．4D．8[答案]C[解析]椭圆中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点F(－，0)与F1重合，∴－＝－2，∴p＝4，故选C.3．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)[答案]B[解析] 圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．4．抛物线y2＝4x上点P(a,2)到焦点F的距离为()A．1B．2C．4D．8[答案]B[解析] 点P(a,2)在抛物线上，∴4a＝4，∴a＝1，∴点P(1,2)．又抛物线的焦点F坐标为(1,0)，∴|PF|＝＝2.5．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|PP1|，则有()A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|B．|PP1|＝|AB|C．|PP1|>|AB|D．|PP1|<|AB|[答案]B[解析]如图，由题意可知|PP1|＝，根据抛物线的定义，得1|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∴|PP1|＝＝|AB|.6．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案]C[解析]设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．如图， |AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠AF1A，∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝∠AFB＝90°.二、填空题7．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________．[答案]x＝－2[解析]由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.8．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝________.[答案]±2[解析]设正三角形边长为x.由题意得，36＝x2sin60°，∴x＝12.当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax，得a＝2.当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax，得a＝－2，故a＝±2.三、解答题9．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求抛物线的方程．[答案]y2＝3x或y2＝－3x[解析]如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.将y1＝代入x2＋y2＝4得x＝±1，∴点(1，)、(－1，)分别在抛物线y2＝2px，y2＝－2px上．∴3＝2p或3＝(－2p)×(－1)．∴p＝.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．2(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．[答案](1)略(2)±[解析](1)如图所示，由方程组，消去x得，ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－. A，B在抛物线y2＝－x上，∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2. kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0.令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)． S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝·1·＝. S△OAB＝，∴＝，解得k＝±.一、选择题1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.B．－C．8D．－8[答案]B[解析]y＝ax2⇒x2＝y，由题意得＝－2，a＝－，故选B.2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．2B．2C．4D．2[答案]B[解析]本题考查了抛物线的标准方程，抛物线定义的应用等知识．由于抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点且经过点M(2，y0)，可设方...
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