高二数学第三章第1－2节不等关系；一元二次不等式的解法北师大版必修5【本讲教育信息】一、教学内容：三个“二次”（一元二次方程、一元二次不等式、二次函数）的关系及应用。二、教学目标（1）理解并掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，利用它们的关系解决最值、恒成立、二次函数零点的分布问题。（2）体会用数形结合的思想、化归的数学思想、分类讨论的数学思想等解决三个“二次”之间的关系及应用。三、知识要点分析：1、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系的转化二次不等式二次不等式的解集是（）2、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系的应用。（1）恒成立的问题：（i）（在x上恒成立（ii）在上恒成立（iii）在区间[m，n]上恒成立需满足的条件是：或或（2）二次函数的零点分布（即一元二次方程的根的分布）问题<1>二次方程f（x）=0的一根大于r，另一根小于r<2>二次方程f（x）=0的两根都大于r<3>二次方程f（x）=0的两个根都在（p，q）内<4>二次方程f（x）=0的两个根中一个小于p，另一个小于q，（p二次方程f（x）=0有且只有一个根在（p，q）内或检验f（p）=0，f（q）=0检验另一根在（p，q）内用心爱心专心（3）二次函数的最值问题：<1>当<2>当时，f（x）max=max{f（m），f（n）}，f（x）min=min{f（m），f（n）}【典型例题】考点一：二次函数的最值问题例1、已知函数的图像过点（1，0）且，设方程的相异的两个实根是，函数与x轴交于A，B两点。求|AB|的取值范围。【思路分析】由已知得|AB|=，由二次方程与二次函数的关系，用a，b，c表示|AB|，根据已知可得：a+b+c=0，且a>b>c可把|AB|表示成关于的函数。再探求的取值范围，然后转化为求函数的最值问题。解：由题设知：a+b+c=0且a>b>c，由此得：a>0，c<0，方程因方程有两相异实根，故，且|AB|===（*）代入（*）得：下面探求<1，即，又a>b>c，a+b+c=0，用心爱心专心在区间内递减故有：即例2、设a，函数（1）若|a|，（2）当f（x）的最大值是【思路分析】（1）把|f（x）|表示成关于|x|的函数，证明|f（x）|的最大值是（2）根据f（x）在区间［－1，1］上取得最大值，建立关于a的方程。解：（1）由，|a|（2）当a=0时，f（x）=x在区间［－1，1］上取得的最大值是f（1）=1，与已知矛盾，故即函数是二次函数。的最大值是即a=－2【说明】有关绝对值不等式的问题在以后的选修教材中将继续研究，在本例的（1）的证明中应用了公式：考点二：有关恒成立的问题的研究例3、已知函数满足f（－1）=0，不等式对一切的实数x都成立，且x时，有（1）求f（1）；（2）证明；（3）当且ac取得最小值时函数F（x）=f（x）－mx，（m是单调函数，求m的取值范围。【思路分析】（1）由已知得。（2）把不等式化为二次不等式，根据此不等式对一切实数x成立的条件可证。（3）求出F（x）的解析表达式（含有参数m），再根据单调性的条件建立关于m的不等式。解：（1）由已知得：（2）由f（1）=1得：a+b+c=1，由f（－1）=0得：a－b+c=0，由此可得：b=a+c=把b=代入不等式得：（*）（*）不等式对一切实数x恒成立（3）由a+c=，a>0，ac得满足题意时必有：a=c=，故F（x）=用心爱心专心由F（x）在区间［－2，2］上是单调函数。例4、已知函数（1）当x时，恒成立，求a的取值范围。（2）当时，恒成立，求a的取值范围。【思路分析】（1），即（2）只要证明，可对函数g（x）的对称轴与区间［－2，2］的位置关系进行讨论。【解法一】（1）由已知：恒成立在R上恒成立故所求a的取值范围是：。（2）由已知在区间［－2，2］上恒成立在区间［－2，2］上恒成立。设g（x）=，函数g（x）的对称轴是（i）（ii）（iii）综合上述（i）（ii）（iii）知所求a的取值范围是［－7，2］.【解法二】（1）同解法一；（2）当时，，问题转化为求函数，函数f（x）的对称轴x=分三种情形讨论（i），（ii），（iii），然后求函数f（x）在三种情形下的最小值。可得结果。【说明】有关恒成立的问题：用心爱心专心考点三：二次函数的零点（即一元二次方程根）的分布问题例5、设函数f（x）=的定义域是［s，t］，值域是[，求实数a的取值范围。【思路分析】...
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