3.4基本不等式1.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20解析:xy≤=400,当且仅当x=y=20时等号成立.答案:A2.在下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+B.y=3x+3-xC.y=lgx+(0
b>1,P=,Q=,R=lg,则下列结论正确的是()A.Rb>1,∴lga>lgb>0.∴R=lg>lglg(ab)==Q>=P.答案:B4.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元,那么水池的最低总造价为()1A.1000元B.2000元C.2720元D.4720元解析:设水池底面一边长为xm,则另一边为m,总造价y=4×180+×80=320+720≥1280+720=2000,当且仅当x=,即x=2时取等号.答案:B5.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.B.C.5D.6解析:∵x+3y=5xy,∴=1.∴3x+4y=(3x+4y)+2=5.当且仅当,即x=2y时取“=”.答案:C6.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:ab=a+b+3≥2+3,∴≥3,即ab≥9.答案:[9,+∞)7.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:①,因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=1时取等号,故①式≤,即的最大值为,故a≥.2答案:8.已知a>0,b>0,且a2+=1,则a的最大值为.解析:a×a≤=,当且仅当a=,b=时等号成立.∴a的最大值为.答案:9.已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等.求证:>a+b+c.证明:∵a>0,b>0,c>0,∴≥2=2c,≥2=2a,≥2=2b.又a,b,c不全相等,故上述等号至少有一个不成立.∴>a+b+c.10.如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?3(2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?解:(1)设每间虎笼长xm,宽为ym,则由条件知4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼面积为S,则S=xy.由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤,即S≤,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.∵2x+3y≥2=2=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.4
