2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用一、选择题1．椭圆＋＝1中，以点M(－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.B.C.D．－[答案]B[解析]设直线与椭圆交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－2，设直线为y＝k(x＋1)＋2，联立得(9＋16k2)x2＋32k(k＋2)x＋(k＋2)2－144＝0.∴x1＋x2＝，∴＝－2.解得k＝.故选B.简解：设弦的端点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则，∴＝又x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，∴＝＝.2．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．3B．2C．2D．4[答案]C[解析]设椭圆方程为＋＝1，联立得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0得a2＋3b2－16＝0，而b2＝a2－4代入得a2＋3(a2－4)－16＝0解得a2＝7，∴a＝.∴长轴长为2，选C.3．P是椭圆＋＝1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是()A.B．64(2＋)C．64(2－)D．64[答案]A[解析]在△PF1F2中，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由椭圆定义知r1＋r2＝20①由余弦定理知cos60°＝＝＝，即r＋r－r1r2＝144②①2－②得r1r2＝.∴S△PF1F2＝r1·r2sin60°＝.4．已知F是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝，则△PQF面积的最大值是()A.abB．abC．acD．bc[答案]D[解析]设它的另一个焦点为F′，则|F′O|＝|FO|，|PO|＝|QO|，FPF′Q为平行四边形．S△PQF＝SPF′QF＝S△PFF′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△PFF′最大为bc.即(S△PQF)max＝bc.5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[答案]A[解析]不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±)，即|PF2|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1|＝，|PF2|＝，即|PF1|＝7|PF2|.6．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()A.∪B.C.D.[答案]C[解析]将方程变形为：＋＝1.∴，∴sinα>－cosα>0.∴α在第二象限且|sinα|>|cosα|.二、填空题7．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．[答案][解析]本题考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的离心率的求法．依题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，＋＝1，＋＝1，所以＋＝0，＝－＝－＝，因此e＝＝.8．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作过点P(，0)作圆的两切线且互相垂直，则离心率e＝________.[答案][解析]如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，解得e＝＝.三、解答题9．P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．[解析]解法一：易知引弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)．由消去y得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝.又 x1＋x2＝2，∴＝2，得k＝－.故弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0. x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋(y1－y2)＝0，∴k＝＝－.∴此弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.一、选择题1．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()A.B．3C.D.[答案]D[解析]a2＝16，b2＝9⇒c2＝7⇒c＝. △PF1F2为直角三角形．∴P是横坐标为±的椭圆上的点．(点P不可能为直角顶点)设P(±，|y|)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1⇒y2＝⇒|y|＝.2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.[答案]B[解析]考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，∴|PF1|＝，∴|PF2|＝，故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2又 a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，∴()2＝，即e＝...
VIP
