天津市部分区2017年高三数学下学期质量调查试题（一）理（扫描版）天津市部分区2017年高三质量调查试卷（一）数学（理工类）一、选择题：（1）-（4）ABCC（5）-（8）ADDC二、填空题：（9）4（10）（11）（12）（13）（14）三、解答题:（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ），..............2分，.............................4分所以周期........................................................................................................6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，因为，所以，...................................................................8分所以，.................................................................................................10分故当时，函数的最大值为；当时，函数的最小值为........................................................................................................................................13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从名学生随机选出名的方法数为，选出人中不属于同一班级的方法数为…………………4分设名学生不属于同一班级的事件为所以.………………………………………………6分（Ⅱ）可能的取值为；；；.………………………………10分所以的分布列为所以……………………………………13分(17)（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取的中点，连接 分别是，的中点，∴且；…………………………1分 ，，∴且；∴．…………………………3分又平面，平面，∴平面．…………………………4分（Ⅱ）（方法一）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则,.……………………………6分设平面PAB的一个法向量为，则从而令，得.…………………………7分同理可求平面ABD的一个法向量为.…………………………8分.平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角的余弦值为．…………………………10分（方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则,……………………6分设平面PAB的一个法向量为，则，，令，得，即.…………………………7分易求平面ABC的一个法向量为.…………………………8分.所以二面角的余弦值为．…………………………10分（Ⅲ）（方法一）建系同(II)（方法一），设由(II)知平面ABCD的一个法向量为，；…………………………11分若与平面所成的角为，则解得，所以.…………………13分（方法二）建系同(II)（方法二），设,则由(II)知平面ABCD的一个法向量为.…………………………11分若与平面所成的角为，则.解得，则，从而………13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由，得，整理得，所以为等差数列，……………2分由，前9项和为81，得；……………4分当时，，即；当时，…………………………………①，…………………………………②①②，得，所以（n≥2）满足，所以……………7分（Ⅱ）……………8分，又，……………9分以上两式作差，得.所以,因此，.………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意,得，…………………………………1分则，结合，得，即，……………………………………………………2分亦即，结合，解得.所以椭圆的离心率为.………………………………………………4分（Ⅱ）由(Ⅰ)得，则.将代入椭圆方程，解得.所以椭圆方程为.………………………………………………6分易得直线的方程为.当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.设直线的方程为，与联立消得,所以.设,则,.……………………8分由，得的中点,因为在直线上，所以，解得.……………10分所以，得,且，.又原点到直线的距离，………………………………12分所以.当且仅当时等号成立，符合,且.所以面积的最大值为.………………………………14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，，，则，，所以所求切线方程为，即.（Ⅱ）由，得.令，则.①当，即时，恒成立，则，所以在上是减函数.②当，即时，，则，所以在上是减函数.③当，即或.(i)当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为...
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