课时作业(五十四)抛物线一、选择题1．(2014·安徽)抛物线y＝x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2答案：A解析：将抛物线方程化为标准形式求解． y＝x2，∴x2＝4y.∴准线方程为y＝－1.2．(2015·资阳二诊)已知点P在抛物线x2＝4y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1∶3，则点P到x轴的距离是()A.B．C．1D．2答案：B解析：抛物线的准线为y＝－1，设点P到x的距离为d，则d＋1＝3d，d＝.故选B.3．(2015·北京东城区质检)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y答案：D解析：由题意知双曲线C1的离心率为＝2，得b＝a，因此双曲线C1的渐近线方程为y＝±x＝±x，取其中一条渐近线x－y＝0，抛物线C2的焦点坐标为，该点到双曲线的渐近线的距离d＝＝＝2，解得p＝8，因此抛物线C2的方程为x2＝16y.故选D.4．(2015·云南部分名校一联)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p＝()A．2B．4C．6D．8答案：B解析： △OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． 圆面积为9π，∴圆的半径为3.又 圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4.故选B.5．(2015·孝感模拟)已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为()A.B．2C．D．2答案：B解析： 抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±bx. 双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝＝，∴双曲线的焦距为2.6．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A，B两点，交准线于点C，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是()A．4B．3C．4D．8答案：C解析：设点A(x1，y1)，其中y1＞0.过点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1，则有|BF|＝|BB1|.又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝＝，∠CBB1＝，即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝2，因此△AKF的面积等于|AK|·y1＝×4×2＝4，故应选C.7．已知M是y＝x2上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为()A．2B．4C．8D．10答案：B解析：由题意可知，焦点坐标为F(0,1)，准线方程为l：y＝－1.过点M作MH⊥l于点H，由抛物线的定义，得|MF|＝|MH|，∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，当C，M，H，A四点共线时，|MH|＋|MA|有最小值，|MA|＝|MC|－1，于是，|MA|＋|MF|的最小值|MC|＋|MH|－1＝4－(－1)－1＝4.8．探照灯反射镜的轴截面是抛物线y2＝2px(x>0)的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的焦点坐标是()A.B．C.D．答案：C解析：依题意，点(40,30)位于抛物线y2＝2px上，于是有302＝2p×40，p＝，焦点坐标是，故应选C.9．(2015·临沂模拟)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为()A．48B．56C．64D．72答案：A解析：由题不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48.10．(2015·银川一中模拟)在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点是()A．(0,1)B．(0,2)C．(2,0)D．(1,0)答案：B解析：设A，B，Q(x0，－2)，则抛物线x2＝4y在点A处的切线方程为y－＝x1(x－x1)，整理得x－2x1x＋4y＝0，经过点Q(x0，－2)，所以x－2x0x1－8＝0.同理，由抛物线x2＝4y在点B处的切线也经过点Q(x0，－2)得x－2x0x2－8＝0.所以x1，x2是方程x2－2x0x－8＝0的两根，所以x1x2＝－8.又直线AB的斜率为k＝＝，方程为y－＝(x－x1)，即为y＝x－＝x＋2，恒过定点(0,2)，故选B.二、填空题11．已知抛...
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