选修1-12.1.1椭圆及其标准方程一、选择题1．(2008·上海)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10[答案]D[解析] 椭圆长轴2a＝10，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.∴选D.2．椭圆的两个焦点分别为F1(－8,0)，F2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[答案]C[解析]由c＝8，a＝10，所以b＝6.故标准方程为＋＝1.所以选C.3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为()A．－1B．1C.D．－[答案]B[解析]椭圆方程5x2＋ky2＝5可化为：x2＋＝1，又 焦点是(0,2)，∴a2＝，b2＝1，c2＝－1＝4，∴k＝1.4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过P的椭圆的标准方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[答案]A[解析]设F1(－2,0)，F2(2,0)，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得，|PF1|＋|PF2|＝＋＝2＝2a，∴a＝，又c＝2，∴b2＝6，椭圆的方程为＋＝1.5．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()A．－98[答案]B[解析]由题意得，解得8－n，椭圆的焦点在y轴上，排除B、D，又n>m，∴无意义，排除A，故选C.17．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．射线D．直线[答案]A[解析] |PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a，又 F1、P、Q三点共线，∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|＝2a.即动点Q在以F1为圆心以2a为半径的圆上．8．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是()A．b2B．bcC．abD．ac[答案]B[解析] S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|，当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.∴△ABF面积的最大值为bc.9．已知椭圆的方程为＋＝1，焦点在x轴上，其焦距为()A．2B．2C．2D．2[答案]A[解析]因为焦点在x轴上，所以a2＝8，b2＝m2，因此c＝，焦距2c＝2.10．(2009·陕西文，7)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]本小题主要考查椭圆的基本概念和充要条件的概念．方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆⇔>>0⇔m>n>0.故选C.二、填空题11．设椭圆＋＝1过点(－2，)，那么焦距等于________．[答案]4[解析] 椭圆＋＝1过点(－2，)，∴m2＝16，∴c2＝16－4＝12,2c＝4.12．△ABC两个顶点坐标是A(－4,0)、B(4,0)，周长是18，则顶点C的轨迹方程是________．[答案]＋＝1(y≠0)[解析]设C的坐标为(x，y)，由题意知|CA|＋|CB|＝18－8＝10>|AB|＝8，由椭圆定义得点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆．∴a＝5，c＝4，b＝3.∴顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．13．已知点P是椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．2[答案](，1)或(，－1)或(－，1)或(－，－1)[解析]设P点的纵坐标为yp，则S△PF1F2＝×|F1F2|×|yp|＝1，由c2＝a2－b2得c2＝5－4＝1，所以c＝1，所以×2×|yp|＝1，所以|yp|＝±1，代入椭圆方程求得横坐标．14．椭圆＋＝1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的______________倍．[答案]7[解析]如图，PF1的中点M在y轴上，O为F1F2的中点，∴OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|＝4－＝＝7|PF2|.三、解答题15．求焦点在坐标轴上，且经过A(－，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程．[解析]设所求椭圆方程为：Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)将A(－，－2)和B(－2，1)的坐标代入方程得，解得.∴所求椭圆的标准方程为：＋＝1.16．若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1,0)，A′(1,0)的距离之和为定值m，试求点P的轨迹方程．[解析]因为|PA|＋|PA′|＝m，|AA′|＝2，|PA|＋|PA′|≥|AA′|，所以m≥2.①当m＝2时，P点的轨迹就是线段AA′，所以其...
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