数系的扩充和复数的概念1．下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a、b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A．①B．②C．③D．④[答案]D[分析]由复数的有关概念逐个判定．[解析]对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为()A．0或－1B．0C．1D．－1[答案]D[解析]∵z为纯虚数，∴∴m＝－1，故选D.3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4[答案]C[解析]由复数相等的充要条件得解得：a＝－4.故应选C.4．已知复数z＝cosα＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为()A．{π，，}B．{，}C．{π，，}D．{，π，}[答案]D[解析]由条件知，cosα＋cos2α＝0，∴2cos2α＋cosα－1＝0，∴cosα＝－1或，∵0<α<2π，∴α＝π，或，故选D.5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则()A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠2[答案]C[解析]若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠bD．a≤0[答案]D1[解析]复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.7．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于()A．kπ(k∈Z)B．2kπ＋(k∈Z)C．2kπ±(k∈Z)D．2kπ＋(k∈Z)[答案]D[解析]由复数相等的定义可知，∴cosθ＝，sinθ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.8．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为()A．－1B．4C．－1或4D．不存在[答案]B[解析]由条件知，∴∴m＝4.9．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于()A．3＋iB．3－iC．－3－iD．－3＋i[答案]B[解析]由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即，解得∴z＝3－i，故应选B.10．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，在集合A中任取一个元素a，则复数z＝(a2－1)＋(a2－a－2)i为实数的概率为p1，z为虚数的概率为p2，z＝0的概率为p3，z为纯虚数的概率为p4，则()A．p3
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