图形变化中的不变量知识精讲陈锁华围绕图形变化的探索题是近几年来的中考热点，解答这类题目需要牢固掌握、灵活应用基础知识，有一定的判断、推理、联想、创新的能力。事物的发生、发展总是有规律的，从特殊到一般的过程可以给我们方法和思路的启示。例1.已知ΔABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N在射线CA上，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点（图1、图2是符合条件的两种情况）。图1图2（1）对于图1，请猜一猜∠BQM等于多少度。（2）在图2中，这个结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明。解析：（1）如图1，由ΔABC为正三角形，且BM=CN，可得ΔBCN≌ΔABM（或ΔACM≌ΔBAN），因此∠CBN=∠BAM。又∠CBN＋∠ABN=60°所以∠BQM=∠BAM＋∠ABN=∠CBN＋∠ABN=60°（2）如图2，图形虽改变，但在图1中成立的三角形的全等关系仍然成立，即ΔBCN≌ΔABM（或ΔACM≌ΔBAN），结论仍然成立，证明方法没有改变。说明：图形变化过程中，变化的是点M，N的位置，不变的是BM=CN和ΔABC是正三角形，而证两三角形全等，正是这两个不变的条件。例2.如下图，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。（1）如上图，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系：__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系：_________；③请证明你的上述两个猜想。（2）如下图，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。解析：（1）在操作观察过程中，我们可以看到：①DE=EF；②NE=BF；③通过证明ΔEDN≌ΔFEB可以同时得到前面两个结论。（2）当点E的位置变化后，要遵照由特殊到一般的证题思想继续关注ΔEDN与ΔFEB是否全等，在寻找两个三角形全等的条件时都有类似的规律，大家可以试一试。例3.如下图，在任意四边形ABCD中，线段AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点分别是E，F，G，H，P，Q。（1）对于上图中，判断下列结论是否正确：①顺次连接EF，FG，GH，HE，一定得到平行四边形；②顺次连接EQ，QG，GP，PE，一定得到平行四边形。（2）请选择①②中的一个证明你的判断。（3）若四边形ABCD如下图，请你判断（1）中的两个结论是否成立。解析：（1）由三角形中位线定理，很容易得到①②判断都是正确的，证明略。（2）虽然凸四边形变形为凹四边形，我们仍可以从凸四边形的结论和证明中寻找相同或相近的思路和方法。连接AC或BD，再次利用三角形中位线定理可得①②两个判断仍然成立。从上面三个例题的分析可以看到，图形在由特殊向一般变化的过程中，许多在特殊图形中成立的结论常常（只是“常常”）在一般图形中也能成立，而且证题的方法和思想几乎（只是“几乎”）不变。因此，解决一般情形下的几何问题，可以先从特例寻找解答的方法，特别是一些探索型问题，可以先从特殊中找到结论，并获得解答的思想。
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