3.2.3导数与函数的综合问题A组专项基础训练(时间:35分钟)1.(2017·安徽A10联盟3月模拟,12)已知函数f(x)=-k,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为()A.(-∞,e]B.[0,e]C.(-∞,e)D.[0,e)【解析】f′(x)=-k=(x>0).设g(x)=,则g′(x)=,则g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为g(1)=e,结合g(x)=与y=k的图象可知,要满足题意,只需k≤e,选A.【答案】A2.(2017·浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x+x等于()A.B.C.D.【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,因此1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x3-3x2+2x,所以f′(x)=3x2-6x+2.x1,x2是方程f′(x)=3x2-6x+2=0的两根,因此x1+x2=2,x1x2=,所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=4-=.【答案】C3.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式:y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为()A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件【解析】y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),当00;当x>3时,y′<0.故当x=3时,该商品的年利润最大.【答案】C4.(2017·洛阳统考)若函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点,则a可能的值为()A.4B.6C.7D.8【解析】由题意得f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),由f′(x)>0得x<1或x>2,由f′(x)<0得1<x<2,所以函数f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1),f(2),若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点,则需使f(1)=0或f(2)=0,解得a=5或a=4,而选项中只给出了4,所以选A.【答案】A5.设函数ht(x)=3tx-2t,若有且仅有一个正实数x0,使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,则x0等于()A.5B.C.3D.【解析】 h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)=ht(x0)=3tx0-2t,则g′(t)=3x0-3t,令g′(t)=0,得t=x,易得ht(x0)max=g(x)=x,∴21x0-14≥x,将选项代入检验可知选D.【答案】D6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导函数为f′(x),f′(x)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________.【解析】 f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b>0.由题意知,∴ac≥,∴c>0,∴=≥≥=2,当且仅当a=c时“=”成立.【答案】27.(2017·郑州质检)设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有2f(x)+xf′(x)>x2,则不等式(x+2017)2f(x+2017)-4f(-2)>0的解集为________.【解析】由2f(x)+xf′(x)>x2,x<0得2xf(x)+x2f′(x)<x3,所以[x2f(x)]′<x3<0.令F(x)=x2f(x)(x<0),则F′(x)<0(x<0),即F(x)在(-∞,0)上是减函数,因为F(x+2017)=(x+2017)2f(x+2017),F(-2)=4f(-2),所以不等式(x+2017)2f(x+2017)-4f(-2)>0,即为F(x+2017)-F(-2)>0,即F(x+2017)>F(-2),又因为F(x)在(-∞,0)上是减函数,所以x+2017<-2,所以x<-2019.【答案】(-∞,-2019)8.若对于任意实数x≥0,函数f(x)=ex+ax恒大于零,则实数a的取值范围是________.【解析】 当x≥0时,f(x)=ex+ax>0恒成立.∴若x=0,a为任意实数,f(x)=ex+ax>0恒成立.若x>0,f(x)=ex+ax>0恒成立,即当x>0时,a>-恒成立.设Q(x)=-.Q′(x)=-=.当x∈(0,1)时,Q′(x)>0,则Q(x)在(0,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,Q′(x)<0,则Q(x)在(1,+∞)上单调递减.∴当x=1时,Q(x)取得最大值.Q(x)max=Q(1)=-e,∴要使x≥0时,f(x)>0恒成立,a的取值范围为(-e,+∞).【答案】(-e,+∞)9.(2016·四川)设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=-,其中a∈R.(e=2.718…为自然对数的底数)(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,g(x)>0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.【解析】(1)f′(x)=2ax-=(x>0).当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f′(x)=0,有x=.此时,...