3.2.3导数与函数的综合问题A组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·安徽A10联盟3月模拟，12)已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为()A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)【解析】f′(x)＝－k＝(x＞0)．设g(x)＝，则g′(x)＝，则g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e，选A.【答案】A2．(2017·浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于()A.B.C.D.【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.【答案】C3．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为()A．1百万件B．2百万件C．3百万件D．4百万件【解析】y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当00；当x>3时，y′<0.故当x＝3时，该商品的年利润最大．【答案】C4．(2017·洛阳统考)若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A．4B．6C．7D．8【解析】由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)＞0得x＜1或x＞2，由f′(x)＜0得1＜x＜2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了4，所以选A.【答案】A5．设函数ht(x)＝3tx－2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0等于()A．5B.C．3D.【解析】 h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)＝ht(x0)＝3tx0－2t，则g′(t)＝3x0－3t，令g′(t)＝0，得t＝x，易得ht(x0)max＝g(x)＝x，∴21x0－14≥x，将选项代入检验可知选D.【答案】D6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)，f′(x)＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．【解析】 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＞0.由题意知，∴ac≥，∴c＞0，∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c时“＝”成立．【答案】27．(2017·郑州质检)设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)＞x2，则不等式(x＋2017)2f(x＋2017)－4f(－2)＞0的解集为________．【解析】由2f(x)＋xf′(x)＞x2，x＜0得2xf(x)＋x2f′(x)＜x3，所以[x2f(x)]′＜x3＜0.令F(x)＝x2f(x)(x＜0)，则F′(x)＜0(x＜0)，即F(x)在(－∞，0)上是减函数，因为F(x＋2017)＝(x＋2017)2f(x＋2017)，F(－2)＝4f(－2)，所以不等式(x＋2017)2f(x＋2017)－4f(－2)＞0，即为F(x＋2017)－F(－2)＞0，即F(x＋2017)＞F(－2)，又因为F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以x＋2017＜－2，所以x＜－2019.【答案】(－∞，－2019)8．若对于任意实数x≥0，函数f(x)＝ex＋ax恒大于零，则实数a的取值范围是________．【解析】 当x≥0时，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立．∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立．若x＞0，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立，即当x＞0时，a＞－恒成立．设Q(x)＝－.Q′(x)＝－＝.当x∈(0，1)时，Q′(x)＞0，则Q(x)在(0，1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)＜0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e，∴要使x≥0时，f(x)＞0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．【答案】(－e，＋∞)9．(2016·四川)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R.(e＝2.718…为自然对数的底数)(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x＞1时，g(x)＞0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立．【解析】(1)f′(x)＝2ax－＝(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a＞0时，由f′(x)＝0，有x＝.此时，...
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