3第10节多元函数的极值与最值（考点）下面讨论多元函数的极值问题与最值问题．10.1无条件极值与函数的最值定义10.1设存在的某邻域，使得函数在内有定义且对于任意都有（或），则称为函数的极小值（极大值），点称为函数的极小值点（极大值点）．函数的极小值与极大值统称为极值．极小值点与极大值点统称为极值点．极值点一定是函数定义域的内点．极小值（极大值）是函数在小邻域内的最小值（最大值）。上述定义可以推广到元函数。若函数在处取得极小值（极大值），则在处取得极小值（极大值）；在处取得极小值（极大值）．由一元函数取得极值的必要条件，若在处可偏导数并取得极值，则必有．称使同时成立的点为函数的驻点（或称为临界点）．由上面分析有：定理10.1(函数取得极值的必要条件)如果函数在点取得极值，且在点可偏导，则．类似可得，若三元函数在点可偏导且在该点取得极值，则有．10离散数学函数有极值点，但在点处，,均不存在．（二元或三元）函数极值点所在的范围：。但是，上述两种点不一定是极值点。例如，和在点。上述两种点是否极值点还需进一步判断。下面定理给出函数取得极值的充分条件：定理10.2(函数取得极值的充分条件)设函数在点的邻域内存在二阶连续偏导数，且，．记，，，则有(1)当时，是极值点：．(2)当时，不是极值点．(3)当时，本定理无效．其中称为极值判别式。（注意：（1）中的判断好像与感觉习惯相反。）*证利用二元函数的一阶泰勒公式，因，由已知条件，,，故．又因为在处有连续的二阶偏导数，所以，有，，，其中，当时，，故，因为，故在内，当时，与的符号相同．9第1章集合记，，则(1)当时，有，即，，且二者同号．因为，所以，故与的符号相同．当时，，即，此时为函数的极小值点．当时，，即，此时为函数的极大值点．(2)当时，若，则，当时，；当时，，即此时可正可负；若，，则，当时，；当时，，此时可正可负；故当时，在内可正可负，得不是函数的极值点．极值问题的解法：(1)（i）求方程组的全部解：；（ii）求或不存在的全部点：；(2)（i）用定理10.2判断点，是否极值点，是极大还是极小一定要有明确结论（）；（ii）用极值定义判断点，是否极值点，是极大还是极小一定要有明确结论（）；(3)必要时将极值点代入函数求出相应的极值．如果到处二阶可导，就没有（1）（ii）和（2）（ii）了。【例10.1】求函数的极值点．解所给函数到处任意阶可导。解方程组，得为函数的两个驻点．因为，所以，在点处，，故不是极值点．在点处，，且，故是极小值点．思考题：1．二元函数在点处取得极值，能否得到一元函数10离散数学及在处也取得极值？反之呢？（反之不对。例如马鞍面。）9第1章集合下面我们讨论最大值最小值问题。设是函数在上的最大（小）值点。则，在的边界上或者在的内部。如果在的内部，则是的极值点，从而，或不存在，或者。解最值问题的一般方法：（1）求出在边界上的最大值，最小值；（2）（i）在的内部求方程组的全部解：；（ii）在的内部求或不存在的全部点：；（3）结论：（4）相应的点就是最大（小）值点。10离散数学【例10.2】求函数在上的最大值和最小值．解先求出的所有驻点及驻点处的函数值．解，得驻点为．且有，，．再求出边界上函数的最值．将代入函数（记为），得，．令，得．这是边界上的可能极值点．比较边界点与可能极值点处的函数值，因，，，，故在边界上的最大值为，最小值为．最后将区域内驻点处的函数值与边界上的最值相比较，得函数在闭区域上的最大值为，最小值为．解最值问题的特殊方法：由问题的实际意义可判断函数在上一定有最值存在，且可以判定最值一定在区域内部取得，那么当在的内部只有一个可疑极值点(导数不存在或导数=0的点)时，函数在此点处的函数值一定就是所要求的最值．一般方法可解任何最值问题；特殊方法为简便而使用。9第1章集合【例10.3】某厂要做一个体积为的有盖长方体水箱．问当长、宽、高各为多少时，用料最省？解设水箱的长，宽分别为，，则高为，水箱的表面积为令，，解得，．因为最小值一定是在开区域内部取得，而函数在区域内只有惟一的驻点．故当时，表面积取得最小值．即当水箱的长...
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