1立体几何中的化归思想2012.11.29一．教学目标：1.了解翻折是将平面转化为立体、展开是将立体转化平面，它们是相反的两个过程；2.了解分割与补形可以将复杂几何体转化成简单几何体；3.掌握翻折问题的解题技巧，表面上最短问题的解题技巧，割补法的应用技巧.二．知识梳理：（一）空间与平面的转化（展开与折叠）1.直棱柱的侧面展开图是.2.正棱锥的侧面展开图是.3.圆柱的侧面展开图是.4.圆锥的侧面展开图是.（二）复杂与简单转化（分割与补形）1.能改变底面的简单几何体有：.2.一个三棱柱能分割为个等体积的三棱锥.3.一个三棱柱能补形为个平行六面体.（三）陌生与熟悉转化1.球的内接长方体对角线长与球的直径.2.球的内切正方体的棱长等于球的.3.过同一点的三条棱两两垂直的四面体可以补形为以这三条棱为长、宽、高的.4.正四体可以补形为以此六棱为面的对角线的.三．典例分析：题型一.翻折问题已知直角梯形中，，，过作，垂足为，分别为的中点，现将沿折叠，使得.（1）求证：；（2）求证：；（3）在线段上找一点，使得，并说明理由.变式训练：如图1所示，在中，，，，为的平分线，点在线段上，.如图2所示，将沿2折起，使得平面平面，连结，设点是的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积.题型二.侧面展开问题例2.长方体中，长、宽、高分别为4、3、5，现有一个小虫从出发沿长方体表面爬行到来获取食物，则其爬行路程的最小值是.变式训练：圆锥母线长为6cm，底面直径为3cm，在母线上一点，，那么由点绕圆锥侧面一周到的最短矩离为.题型三.割补法例3.如图，在多面体中，已知面是边长为3的正方体，，3，与面的距离为2，求该多面体的体积.变式训练：如图，三棱柱中，已知侧面的面积为，侧棱到面的距离为.求证：.例4.四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为.（1）求四面体的体积：（2）求四面体外接球的面积.变式训练：设是球表面上的四个点，两两垂直，且，求球的体积与表面积.4四．课堂检测：1.把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，这时顶点到的距离是.2.如图，棱锥的侧面是全等的等腰直角三角形且边长为a，，是的中点.一只小虫从点沿侧面爬到点，则爬行的最短距离为.3.棱长为的正四面体的外接球的体积为.4.如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.证明：AC⊥BO1；
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