数学归纳法海选专题证明一些等式和不等式注意：（1）初始值（2）由n=k到n=k+1时①注意增加的项数②一定要用n=k正确这个结论（3）特殊→猜想→证明（4）一．用数学归纳法证明等式：1.用数学归纳法证明2、用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)＝(n∈N*)．二．用数学归纳法证明下述不等式:1.用数学归纳法证明2.设且，求证：.三．整除问题：1.试证当n为自然数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．2.若5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)能被正整数m整除，请写出m的最大值，并给予证明．解：当n＝1时，51＋2×30＋1＝8，∴m≤8，(2分)下证5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)能被8整除．(3分)①当n＝1时已证；(4分)②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即5k＋2×3k－1＋1能被8整除．(5分)则当n＝k＋1时，5k＋1＋2×3k＋1＝5·5k＋6·3k－1＋1(6分)＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1)，(7分) 5k＋2×3k－1＋1能被8整除，而5k＋3k－1为偶数，∴4(5k＋3k－1)也能被8整除，即当n＝k＋1时命题也成立．(8分)3.用数学归纳法证明：能被整除.四．与数列有关问题：1．已知正项数列na中，对于一切的*nN均有21nnnaaa成立。（1）证明：数列na中的任意一项都小于1；（2）探究na与1n的大小，并证明你的结论.1．解：（1）由21nnnaaa得21nnnaaa 在数列na中0na，∴10na，∴20,01nnnaaa故数列na中的任意一项都小于1.（2）由（1）知1011na，那么2221111111()2442aaaa，由此猜想：1nan（n≥2）.下面用数学归纳法证明：①当n=2时，显然成立；②当n=k时（k≥2,k∈N）时，假设猜想正确，即112kak，那么22212221111111111()()242411kkkkkkaaaakkkkkk，∴当n=k+1时，猜想也正确综上所述，对于一切*nN，都有1nan。2.已知数列的前项和为，通项公式为，，（1）计算的值；（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解：（1）由已知，，；（2）由（Ⅰ）知；下面用数学归纳法证明：当时，．（１）由（Ⅰ）当时，；（２）假设时，，即，那么，所以当时，也成立．由（1）和（2）知，当时，．所以当，和时，；当时，．3.已知数列{}na中，112a，21112nnnaaa(*)nN．（1）求证：3113(,)82a；（2）求证：当3n时，1|2|2nna．解：（1）因为112a，所以22211111331(1)(1,)2222aaaa………………2分故2232221131131(1)(,)22282aaaa…………………………………4分（2）当3n时，31132(2,2)82a，又111312,28828，所以311288a，即31|2|8a…………………………………6分假设当(3)nkk时，1|2|2kka则当1nk时，11|2||2||22|2kkkaaa…………………8分111|222|222kk112k…………………………………10分即1nk时结论成立综上所述，当3n时，1|2|2nna．4、已知正项数列na中，111,1()1nnnaaanNa。用数学归纳法证明：1()nnaanN。答案要点：当时，，，所以，时，不等式成立；假设（）时，成立，则当时，，所以，时，不等式成立．综上所述，不等式1()nnaanN成立．5、已知数列满足，且（）（1）求的值（2）由（1）猜想的通项公式，并给出证明。解：（1）由得，求得……3分（2）猜想……5分证明：①当n=1时，猜想成立。……6分②设当n=k时时，猜想成立，即，……7分则当n=k+1时，有，所以当n=k+1时猜想也成立……9分③综合①②，猜想对任何都成立。……10分6、已知数列中，an=n（n+1）（n+2）.又Sn=kn（n+1）（n+2）（n+3），试确定常数k，使Sn恰为的前n项的和，并用数学归纳法证明你的结论.解：由a1=S1,k=.下面用数学归纳法进行证明.1°.当n=1时，命题显然成立；2°.假设当n=k(kN*)时，命题成立,即1·2·3+2·3·4+……+k（k+1）（k+2）=k（k+1）（k+2）（k+3）,则n=k+1时，1·2·3+2·3·4+……+k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）=k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）=(k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）即命题对n=...
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