1.5.3定积分的概念 (3)VIP专享VIP免费

定积分的概念定积分的概念积分学不定积分定积分一.引例1.曲边梯形的面积)(xfy设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(xfxfyx及轴,以及两直线bxax,所围成,求其面积A.?Aabxoy步骤:1)分割在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx1xix1ix用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似代替在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),,2,1,nii3)近似和.niiAA1niiixf1)(令,0max1inix则曲边梯形面积abxoy1xix1ixi二.定积分定义计算函数)(xf在某个区间],[ba的面积,)(xf在区间],[ba上的定积分,,)(baxdxf即baxdxf)()0()(1iniixf此时称f(x)在[a,b]上可积.上的曲边梯形记作也叫做函数baxdxf)()0()(1iniixf积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和],[ba叫做积分区间定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxdxf)(batdtf)(bauduf)(定积分的几何意义Axdxfxfba)(,0)(曲边梯形面积baxdxfxf)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321)(AAAAAdxxfba各部分面积的代数和A定积分的性质(1)()()bbaakfxdxkfxdx(3)()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb(2)[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx(4)()()baabfxdxfxdx(5)()0aafxdx二、计算：牛顿—莱布尼兹公式：)()()(aFbFdxxfba应用1：面积()baSfxdx应用2：物体沿与变力F(x)相同的方向移动,则从位置x=a到x=b变力F(x)所作的功为()baWFxdx)()('xfxF例1计算下列积分；）（20)sin(2xdxx；）（2121xdx)1(F)2F(212xdxxxxxxxsin)(F,cos21)(F)2(2则解：取23)(F,31)(F)1(xxxx则解：取3)1(3123133)0(F)2F()sin(20xdxx12练习：计算下列积分；）（50)52(2xdx；10)1(xdex；）（-2)cos3(4xdxx；211)3(xdx；）（20)cossin(5xdxbxa1)0()1()(,)()1(011010eeeFFxdeexFexFxdexxxx则解：取；0555)0()5()52(52)(,5)()52()2(250250FFxdxxxFxxxFxdx则解：取；33322322)()()()cos3(cos3)(,sin)(:)cos3()4(FFxdxxxxxFxxxFxdxx则取解；2ln1ln2ln)1()2(11)(,ln)(1)3(2121FFxdxxxFxxFxdx则解：取；abbabaFFxdxbxaxbxaxFxbxaxFxdxbxa)0sin0cos(2sin2cos)0()2()cossin(cossin)(,sincos)()cossin()5(2020则解：取；例2根据积分的几何意义求积分轴上方的部分为半径的圆在表示以原点为圆心，解：xxxf24)(2；2224xdx上的半圆的面积在表示]2,2[)(422-2xfxdx22214222-2xdx即yox22练习根据积分的几何意义求积分；aaaxdxa)0(22轴上方的部分为半径的圆在表示以原点为圆心，解：xaxaxf22)(22122-22aaxdxaaa即上的半圆的面积在表示],[)(-22aaxfxdxaaayoxaa思考：求积分；102))1(1(xdxx轴上方的部分为半径的圆在点为圆心，表示以xxxf1)0,1()1(1)(210102102))1(1())1(1(xdxxdxxdxx解：21121210xdx又214))1(1(102xdxx圆面积上的，表示这半圆在411]0[)1(1102xdx4141)1(12102xdx即小结：.)(.1b的定义及几何意义axdxf..3积分根据积分的几何意义求..2积分运用定积分的性质计算作业：xdexdxxxdxxxxdxxx)1()4()sin()3()()2()1()1(.1024021102))1(1(.2xdxx