4.2换底公式VIP专享VIP免费

换底公式[学习目标]1.了解对数、常用对数、自然对数的概念(难点)．2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化(重点)．3.理解对数的性质，会求简单的对数值(重点)．[知识提炼·梳理]1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念．(2)底数a的范围是a>0且a≠1．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．4．对数的运算性质若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．5．对数的换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0.则有：logab＝logcblogca．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log(－2)4.()(2)若log(x－1)(x－1)＝1，则x的取值范围是(1，＋∞)．()(3)使对数log2(－2a＋1)有意义的a的取值范围是－∞，12.()(4)logaM＋logaN＝loga(M＋N)(a>0，且a≠1，M>0，N>0)．()解析：(1)错，因为－2<0.(2)错，由x－1>0，01且x≠2.(3)对，由－2a＋1>0，得a<12.(4)错，logaM＋logaN＝loga(MN)．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子正确的个数为()①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaxy＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.A．0B．1C．2D．3解析：根据对数的运算性质知，这四个式子都不正确．答案：A3．计算2log63＋log64＝()A．1B．2C．3D．4解析：2log63＋log64＝log632＋log64＝log6(9×4)＝log662＝2.答案：B4．若lgx－lgy＝m，则lgx43－lgy43＝________．解析：lgx43－lgy43＝3(lgx－lg4)－3(lgy－lg4)＝3(lgx－lgy)＝3m.答案：3m5．计算log327＋lg25＋lg4＋7log72－827－13＝______．解析：原式＝log3332＋lg(25×4)＋2－233×（－13）＝32＋2＋2－32＝4.答案：4类型1指数式与对数式的互化(自主研析)[典例1](1)将下列指数式化为对数式：①12x＝5化为________；②(3)x＝6化为________；(2)将下列对数式化为指数式：①log10010＝12化为______；②logx64＝－6化为______．[自主解答](1)根据指数式与对数式的互化规则，可得①x＝log125；②x＝log.(2)根据指数式与对数式的互化规则，可得①10012＝10；②x－6＝64.答案：(1)①x＝log125②x＝log(2)①10012＝10②x－6＝64归纳升华指数式与对数式互化的方法(1)指数式化为对数式．将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式．将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．[变式训练]完成下列指数式与对数式的互化：(1)4－2＝116化为_________；(2)πx＝8化为_________；(3)logx＝6化为________；(4)logπ6＝x化为________．解析：根据指数式与对数式的互化规则，可得(1)log4116＝－2；(2)x＝logπ8；(3)(3)6＝x；(4)πx＝6.答案：(1)log4116＝－2(2)x＝logπ8(3)(3)6＝x(4)πx＝6类型2对数运算性质的应用[典例2]化简：(1)lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27；(2)lg25＋lg2lg50＋2.解：(1)法一(正用公式)：原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝（1＋45＋910－12）lg3lg3＝115.法二(逆用公式)：(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21×2log25＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＋25＝1＋25.归纳升华1．在应用对数运算性质解题时，要保证每个对数式都有意义，避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式上的错误．2．化简底数相同的对数式的常用方法．(1)“合”：将同底的对数的和(差)合为积(商)的对数．(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底数的对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简取决于问题的实际情况．[变式训练]计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)log535－2log573＋log57－log51.8.解：(1)原式＝lg427－lg4＋lg75＝lg42×757×4＝lg(2×5)＝lg10＝12.(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2l...