导数思维如何起作用经过前一段的系统复习,书也看了,题也练了,该是时候梳理一下了.如果说前面着重的是对各个知识点的理解与训练,那么现在更关注的是知识的综合应用,也就是说,要把知识转化为能力.选择这些专题的目的是培养同学们的能力意识、应用意识、创新意识,但却不能空谈,而是要以知识为载体.每一个专题都以一个中心为基础,展开辐射,力求把知识网络化、系统化.数形结合,出水芙蓉〖例1〗已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是()此题是2005年江西卷理科第7小题.图象题基本上都是由函数图象来反映函数的性质,要求我们对图象要有良好的感知能力,能从图中发现函数的性质,从而做出正确的判断.看的图象,可以看出,当时,,于是;当时,,于是.这样,基本上可以判断出当时,是减函数,再对照选择支中的图象,可以确定选C.你还可以从图中发现函数的什么性质?此题情境清新脱俗,对开与数的转化和信息加工处理,都有深度和广度的要求,较好地体现了创新意识.这个小题涉及了三次函数的图象,你能举例说明三次函数的性质吗?(这可是一个值得思考的问题.)由于高中阶段对导数的内容学习的并不深入,所以在考试时,经常会把一些抽象的性质用图象的形式来表现.认真体会下面几个小题:()向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是()(这个注水的问题是1998高考中的一道小题,当时不考导数,现在你能联系起导数吗?这个小题是高考命题的得意之作.)()设是的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是()()如图所示,是定义在[0，1]上的四个函数,其中满足性质:“对上任意的两点,总有”的是A.B.C.D.动静结合,哲学韵味〖例2〗若,则()A.B.C.D.方法1作差比较其大小,选C.方法2如果仅仅是作差,那这道小题就没有什么味道了.我们注意到、、具有相同的结构,所以将它们看作函数的3个函数值.困此,要比较其大小,自然而然地联想到函数的单调性.由可知时,;时,;时,.所以,在内为增函数,在内为减函数,且当时取得最大值.(弄清了函数的性质,下面就可以大显身手了.)现在,且,所以.还有一个不和谐的因素,就是,为什么会出现这种情况?其实是命题人在“逗你玩”.因为,而,所以,即.所以选C.(将几个“静止”的数放到“动态”的函数中去,这正是函数思维在起作用.)一般地,对于,有.由于对数式与指数式可以互化,所以有(或)①同理,当,有(或)②下面两个小题目请加以练习:()证明不等式,其中.(),其中.()证明:当时,.回到定义,批判质疑〖例3〗证明:如果函数在点处可导,那么函数在点处连续.已知:求证:证明:考虑,令,相当于,于是“如果函数在点处可导,那么函数在点处连续.”同学们查一查课本,这个结论在课本中是没有证明的,当时也没有多想就接受了下来.如果说当时没有证明是教材的编写者有某种考虑,但如果我们从来没有证明的意识,那对以后的学习就不是一件好事情.批判质疑是一个学习者应有的学习态度,也是要我们努力培养的.()设在处可导,且,则=()A.1B.0C.3D.()若函数处处可导,则.解答规范,平心静气〖例4〗(2005年高考全国Ⅱ卷(文)第21题)设为实数,函数.(Ⅰ)求的极值;(Ⅱ)当在什么范围内取值时,曲线与轴仅有一个交点.解:(Ⅰ).若,则.当变化时,及的变化情况如下表:所以的极大值是,极小值是.(Ⅱ)函数.由此可知取足够大的正数时,有,取足够小的负数时,有.所以曲线与轴至少有一个交点.结合的单调性可知:当的极大值,即时,它的极小值也小于,因此曲线与轴仅有一个交点,它在上;当的极小值,即时,它的极大值也大于,因此曲线与轴仅有一个交点,它在上.所以当时,曲线与轴仅有一个交点.〖例5〗(2005年高考天津卷(文)第21题)已知,设和是方程的两个实根,不等式对任意实数恒成立;函数在上有极值.求使正确且正确的的取值范围.解:(1)由题设和是方程的两个实根,得且,所以.当时,的最大值为,即.由题意,不等式对任意实数恒成立的的解集等于不等式的解集,由此不等式得因此,当时,是正确的.(2)对函数求导,得.令,即,此一元二次方程的判别式为.若,则有两个相等的实根,且的符号如下:因此,不是函数的极值.若,则有两个不相等的实根,且的符号如下:因此,函数在处取得极大值,在处取得极小值.综上所述,当且仅当时,函数在上有...
VIP
