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复杂,源于简单 专题辅导 不分版本试卷VIP专享VIP免费

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复杂,源于简单李歆高中数学课本第二册(上)习题6.3第7题:若,则(*)(当且仅当x=y时,取“=”号)此题看似简单,常常被同学们所忽视,但它的条件和结论特征却非常明显,由此联想到带有条件“”的最值和不等式问题,用(*)作“桥”求解,结果十分凑效,充分显示出课本习题(*)的应用价值。下面略举数例予以说明。例1.已知,求的最小值。解:由(*)得等号当且仅当,即时等号成立。故例2.已知,且,求的最小值。直接用(*),难解此题,可将(*)推广为:若,且,则。(**)(当且仅当时,取“=”号)解:由(**)得等号当且仅当,即,时等号成立。故例3.已知,且,求的最小值。解:由(*)得由例1知所以等号当且仅当时等号成立故例4.设a,b,x,y皆为正实数,且,求证初看此题,似乎难以入手,但用(*)思考,即可从根号下部分打开突破口。证明:由(*)得即同理可得两式相加,得例5.已知,且,求证此题与例4不同,条件等式和特征不等式左边根号下部分关系不明显,似乎不能用(*)解答,但考虑到不等式右边根号下部分和等号成立的条件,可对左边根号下部分适当变形。证明:由(*)得所以同理可得两式相加,得例6.设p>0,q>0,且。求证:此题证法较多,这里用(*)再给出一种独特的证法。证明:由已知得由(*)可得。(利用)所以即

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