278/18习题反常积分的收敛判别法⒈⑴证明比较判别法（定理）；⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中l0或时，adxx)(和adxxf)(的敛散性可以产生各种不同的的情况.解（1）定理（比较判别法）设在[,)a上恒有)()(0xKxf，其中K是正常数.则当adxx)(收敛时adxxf)(也收敛；当adxxf)(发散时adxx)(也发散.证当adxx)(收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，0，aA0，0,AAA：KdxxAA)(.于是AAdxxf)(AAdxxK)(，所以adxxf)(也收敛；当adxxf)(发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，00，aA0，0,AAA：KdxxfAA)(.于是AAdxx)(0)(1AAdxxfK，所以adxx)(也发散.（2）设在[,)a上有0)(,0)(xxf，且0)()(limxxfx.则当adxxf)(发散时，adxx)(也发散；但当adxxf)(收敛时，adxx)(可能收敛，也可能发散.例如21)(xxf，)20(1)(pxxp，则0)()(limxxfx.显然有1)(dxxf收敛，而对于1)(dxx，则当21p时收敛，当10p时发散.279/18设在[,)a上有0)(,0)(xxf，且)()(limxxfx.则当adxxf)(收敛时，adxx)(也收敛；但当adxxf)(发散时，adxx)(可能发散，也可能收敛.例如xxf1)(，)21(1)(pxxp，则)()(limxxfx.显然有1)(dxxf发散，而对于1)(dxx，则当121p时发散，当1p时收敛.⒉证明Cauchy判别法及其极限形式（定理）.证定理（Cauchy判别法）设在[,)a(,)0上恒有fx()0，K是正常数.⑴若fxKxp()，且p1，则adxxf)(收敛；⑵若fxKxp()，且p1，则adxxf)(发散.推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[,)a(,)0上恒有fx()0，且lim()xpxfxl，则⑴若0l，且p1，则adxxf)(收敛；⑵若0l，且p1，则adxxf)(发散.证直接应用定理（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x取为px1.⒊讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321xexdxxln;⑵131tanarcdxxx;⑶110xxdx|sin|;⑷xxdxqp11（Rqp,）.解（1）当x时，1ln123xexx～231x，所以积分11321xexdxxln收敛.280/18（2）当x时，31arctanxx～32x，所以积分131tanarcdxxx收敛.（3）因为当0x时有xxx11sin11，而积分dxx011发散，所以积分110xxdx|sin|发散.（4）当x时，pqxx1～qpx1，所以在1qp时，积分xxdxqp11收敛，在其余情况下积分xxdxqp11发散.⒋证明：对非负函数fx()，)cpv(fxdx()收敛与fxdx()收敛是等价的.证显然，由fxdx()收敛可推出)cpv(fxdx()收敛，现证明当0)(xf时可由)cpv(fxdx()收敛推出fxdx()收敛.由于)cpv(fxdx()收敛，可知极限Alim)(AFAlimAAdxxf)(存在而且有限，由Cauchy收敛原理，0，00A，0,AAA：)'()(AFAF，于是0,AAA与0',ABB，成立AAdxxf)()'()(AFAF与BBdxxf')()'()(BFBF，这说明积分0)(dxxf与0)(dxxf都收敛，所以积分fxdx()收敛.⒌讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴lnlnlnsinxxxdx2;⑵sinxxdxp1（Rp）;281/18⑶1tanarcsindxxxxp（Rp）;⑷sin()xdx20;⑸anmxdxxqxpsin)()(（pxm()和qxn()分别是m和n次多项式，qxn()在),[ax范围无零点.）解（1）因为AxdxAF2sin)(有界，xxlnlnln在),2[单调，且0lnlnlnlimxxx，由Dirichlet判别法，积分lnlnlnsinxxxdx2收敛；由于xxxsinlnlnlnxxx2sinlnlnln)2cos1(lnlnln21xxx，而积分2lnlnlndxxx发散，22coslnlnlnxdxxx收敛，所以积分2sinlnlnlndxxxx发散，即积分lnlnlnsinxxxdx2条件收敛.（2）当1p时，ppxxx1sin，而11dxxp收敛，所以当1p时积分sinxxdxp1绝对收敛；当10p时，因为AxdxAF1sin)(有界，px1在),1[单调，且01limpxx，由Dirichlet判别法，积分sinxxdxp1收敛；但因为当10p时积分1|sin|dxxxp发散，所以当10p时积分sinxxdxp1条件收敛.（3）当1p时，pxxxarctansinpx2，而11dxxp收敛，所以当1p时积分1tanarcsindxxxxp绝对收敛；当10p时，因为AxdxAF1sin)(有界，pxxarctan在),1[单调，且0arctanlimpxxx，由Dirichlet判别法，积分1arctansindxxxxp收敛；但因为282/18当10p时积分1sinarctandxxxxp发散，所以当10p时积分1arctansindxxxxp条件收敛.（4）令2xt，02)sin(dxx02sindttt，由于02sindttt条件收敛，可知积分sin()xdx20条件收敛.（5）当1mn且x充分大时，有xxqxpnmsin)()(2xK，可知当1mn时积分anmxdxxqxpsin)()(绝对收敛.当1mn时，因为AxdxAF1sin)(有界，且当x充分大时，)()(xqxpnm单调且0)()(limxqxpnmx，由Dirich...
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