北京伯乐马教育研究所专家命制2006年高考数学押题卷1．已知（2x－3)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋……＋a6(x－1)6，求a1＋a3＋a5＝_____．命题理由：在多项式系数上，略作一点变化，既能考查对系数特征、组合原理的把握，又可看到学生的能力．略解：令x－1＝t，则有(2t－1)6＝a0＋a1t＋a2t2＋……＋a6t6，∴a1＋a3＋a5＝＝－364．或a1＋a3＋a5＝C6·2·(－1)5＋C6·23·(－1)3＋C6·25·(－1)＝－364．2．（满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BD＝，∠ABD＝90°，将它们沿对角线BD折起，折后的C变为C1，且A、C1间的距离为2（如图乙所示）．（Ⅰ）求证：平面AC1D⊥平面ABD；（Ⅱ）求二面角B－AC1－D的大小．（Ⅲ）E为线段AC1上的一个动点，当线段EC1的长为多少时？DE与平面BC1D所成的角为30°．命题理由：该题根据新教材B版本中B组某复习题改编，考察了学生简单的线面垂直、平面角、线面角，既可用向量方法求解，也注意到了几何方法的简单、快捷，以折叠方式引入，特别是线面角的探索，有很强的新颖性．解法一：（Ⅰ） ABCD是平行四边形，故知∠BDC1＝∠ABD＝90°，即AB⊥BD，C1D⊥BD，∴AD＝BC1＝，1分由C1D＝1，AC1＝2可得，AC12＝C1D2＋AD2，∴C1D⊥AD．∴C1D⊥平面ABD，2分又C1D平面AC1D，故平面AC1D⊥平面ABD．图乙BC1DA·EBCDA图甲DBC1A·Eyxz3分（Ⅱ）由AB⊥BD，AB⊥C1D可知，AB⊥平面BC1D，故可以B为原点，平行于C1D的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系．4分则A(0,0,1)，D(0,,0)，C1(1,,0)＝(0,0,1)，＝(1,,0)，＝(0,,－1)，＝(1,0,0)5分设平面ABC1的法向量为＝(x1,y1,z1)，则·＝0，·＝0，即，解得，故得平面ABC1的一个法向量＝(－,1,0)6分设平面ADC1的法向量为＝(x2,y2,z2)，则·＝0，·＝0，即，解得，故得平面ABC1的一个法向量＝(0,1,)7分 cos<,>＝＝＝8分显然，二面角B－AC1－D所成的平面角为锐角，故大小为arccos.9分（Ⅲ）设＝λ，则＝＋＝＋λ＝(1,0,0)＋λ(－1,－,1)＝(1－λ,－λ,λ)，10分由ABC⊥平面BCD可知，＝(0,0,1)是平面BCD的一个法向量，若DE与平面BC1D所成的角为30°，则不难看出<,>＝60°，∴cos<,>＝11分又cos<,>＝＝12分故＝，整理，得4λ2＝1－2λ＋4λ2，解得λ＝．13分故知E为AB的中点，即|C1E|＝1时．DE与平面BC1D所成的角为30°．14分解法二：（Ⅰ）同上．3分（Ⅱ）作DF⊥BC1于F，则DF⊥平面ABC1，又作DG⊥AC1，连FG，由三垂线定理可知，则FG⊥AC1，故∠FGD就是二面角B－AC1－D的平面角．5分 ·BC1·DF＝·BD·DC1，故DF＝＝，6分同理，DG＝＝＝7分∴sin∠FGD＝＝，8分故二面角B－AC1－D的大小为arcsin．9分（Ⅲ）过E作EH⊥BC1于H，则EH∥AB，故EH⊥平面BC1D，连DH，则∠EDH就是DE与平面BC1D所成的角．10分设|C1E|＝x， AB＝1，AC1＝2，故知∠AC1B＝30°，则EH＝x，11分同理可知，∠DC1E＝60°，在△DC1E中，由余弦定理得DE2＝12＋x2－2·1·x·cos60°＝x2－x＋1．12分若∠EDH＝30°，则DE＝2EH＝x，故有x2＝x2－x＋1，解得x＝1，即|C1E|＝1时，DE与平面BC1D所成的角为30°．14分3．（满分14分）已知f(x)＝ln(x2＋1)－(ax－2)（Ⅰ）若函数f(x)是R上的增函数，求a的取值取值范围；（Ⅱ）若|a|＜1，求f(x)的单调增区间；命题理由：将导数与不等式结合在一起，很常规，也是高考命题的一种趋势，该题既注意到了导数与函数的密切关系，将问题转化为不等式恒成立与最值之间的关系，同时注意到不等式的解法，通过参数的讨论来提升学生的能力．解：（Ⅰ）f’(x)＝－a，1分 f(x)是R上的增函数，故f’(x)＝－a＞0在R上恒成立，即a＜在R上恒成立，2分令g(x)＝g'(x)＝＝＝－＝－3分BC1DAEFGH由g'(x)＝0，得x＝－1或x＝1g'(x)＞0，得－1＜x＜1g'(x)＜0，得x＜－1或x＞14分故函数g(x)在(－∞,1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,＋∞)上单调递减．5分∴当x＝－1时，g(x)有极小值g(－1)＝－1，当x＝1时，g(x)有极大值g(1)＝1．又＝0，故知g(－1)＝－1为函数g(x)的最小值．6分∴a＜－1．但当a＝－1时，f(x)亦是R上的增函数，故知a的取值范围是(－∞,－1]．7分（Ⅱ）f'(x)＝－a＝－8分由f'(x)＞0，得ax2－2x＋a＜0，由判别式△＝...
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