初三数学平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形一.本周教学内容:平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形二.教学过程:问题:在平面直角坐标系内已知一边(比如线段AB),按要求在坐标系内取一点(比如P),使△PAB为等腰三角形(直角三角形、等腰直角三角形)解题思路:按已知的边在特殊三角形中所“扮演”的角色进行分类讨论,具体如下:(1)当要构造的特殊三角形为等腰三角形时:①如果已知的边AB“扮演”底边,则要作AB的中垂线,点P一定在中垂线上。②如果已知的边AB“扮演”腰,且A为要构造的等腰三角形的顶点,则要以A为圆心,AB长为半径画圆,点P一定在这个圆上。③如果已知的边AB“扮演”腰,且B为要构造的等腰三角形的顶点,则要以B为圆心,AB长为半径画圆,点P一定在这个圆上。(2)当要构造的特殊三角形为直角三角形时:①如果已知的边AB“扮演”斜边,则要以AB为直径画圆,点P一定在这个圆上。②如果已知的边AB“扮演”直角边,且A为直角顶点,则要过A作AB的垂线,点P一定在这条垂线上。③如果已知的边AB“扮演”直角边,且B为直角顶点,则要过B作AB的垂线,点P一定在这条垂线上。【典型例题】例1.如图所示,在直角坐标系中,点A(2,1),在坐标轴上求一点B,使△AOB是等腰三角形,并确定点B的坐标。解:情形1:当OA为△AOB的底边时,作OA的中垂线,和x、y轴分别交于,如图(1)图(1) 在Rt△AOC中,是OA的中垂线又,即同理可得:情形2:当OA为腰且A为顶点时,以A为圆心,AO长为半径画圆,如图(2)图(2)易得:情形3:当OA为腰且O为顶点时,以O为圆心,AO长为半径画圆,如图(3)图(3)易得:例2.已知:在直角坐标系中,点A()和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,那么满足这样条件的点P有多少个?()A.8个B.6个C.4个D.2个解:情形1:当AB为斜边时,作以AB为直径的圆∴在Rt△ABC中,AC=BC=2∴∠BAC=45°∴OD=1,即D是AB的中点∴即画以D为圆心,AD长为半径的圆,如图(1)图(1)易得:情形2:当AB为直角边,且A为直角顶点时,过点A作AB的垂线,如图(2):图(2)易得:情形3:当AB为直角边,且B为直角顶点时,过点B作AB的垂线,如图(3):图(3)易得:∴满足这样条件的点P有6个例3.在数学活动课上,老师请同学们在一张长为18cm、宽为14cm的长方形纸板上剪下一个腰长为12cm的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余两个顶点在长方形的边上)。请你画出设计方案的示意图,并通过计算说明哪种情况剪下的等腰三角形的面积最小。解:分三种情况:(1)如图①,当AE=AF=12时,图①(2)如图②,当AE=EF=12时,图②(3)如图③,当AE=EF=12时,图③比较上述计算可知第(3)种情况剪下的等腰三角形的面积最小。例4.在直角坐标系xOy中,已知点A、B、C的坐标分别为A()、B(1,0)、C(0,),求:(1)求经过A、B、C三点的二次函数的解析式,并求出顶点D的坐标;(2)在y轴上求一点P,使最小,求出P点坐标;(3)在第三象限中,是否存在点M,使AC为等腰△ACM的一边,且底角为30°。如果存在,请求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由;(4)将(3)题中的“第三象限”改为“坐标平面xOy”,其余条件不变,请直接写出符合条件的点M的坐标(只写结果,不需要解答过程)。解:(1)设二次函数的解析式为(a不为0)且过,代入解得:∴所求解析式为即∴所求顶点坐标为(2)看图易知A点关于y轴的对称点A'的坐标为(2,0),连接A'D,交y轴于点P,点P为所求。由D和A'的坐标可以求得直线A'D的方程为:P点坐标为(3)在第三象限内存在符合条件的点M,如图:设作于E,则类似可以求得:(4)在坐标平面上符合条件的点M有6个,它们的坐标分别是:(答题时间:20分钟)1.已知:如图,△ABC中,AB=6,AC=8,M为AB上一点(M不与点A、B重合),MN∥BC交AC于点N。(1)当△AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍时,求AM的长;(2)若∠A=90°,在BC上是否存在点P,使得△MNP为等腰直角三角形?若存在,请求出MN的长;若不存在,请说明理由。2.如图,P是y轴上一动点,是否存在平行于y轴的直线,使它与直线和...