初三数学平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形一.本周教学内容：平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形二.教学过程：问题：在平面直角坐标系内已知一边（比如线段AB），按要求在坐标系内取一点（比如P），使△PAB为等腰三角形（直角三角形、等腰直角三角形）解题思路：按已知的边在特殊三角形中所“扮演”的角色进行分类讨论，具体如下：（1）当要构造的特殊三角形为等腰三角形时：①如果已知的边AB“扮演”底边，则要作AB的中垂线，点P一定在中垂线上。②如果已知的边AB“扮演”腰，且A为要构造的等腰三角形的顶点，则要以A为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。③如果已知的边AB“扮演”腰，且B为要构造的等腰三角形的顶点，则要以B为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。（2）当要构造的特殊三角形为直角三角形时：①如果已知的边AB“扮演”斜边，则要以AB为直径画圆，点P一定在这个圆上。②如果已知的边AB“扮演”直角边，且A为直角顶点，则要过A作AB的垂线，点P一定在这条垂线上。③如果已知的边AB“扮演”直角边，且B为直角顶点，则要过B作AB的垂线，点P一定在这条垂线上。【典型例题】例1.如图所示，在直角坐标系中，点A（2，1），在坐标轴上求一点B，使△AOB是等腰三角形，并确定点B的坐标。解：情形1：当OA为△AOB的底边时，作OA的中垂线，和x、y轴分别交于，如图（1）图（1） 在Rt△AOC中，是OA的中垂线又，即同理可得：情形2：当OA为腰且A为顶点时，以A为圆心，AO长为半径画圆，如图（2）图（2）易得：情形3：当OA为腰且O为顶点时，以O为圆心，AO长为半径画圆，如图（3）图（3）易得：例2.已知：在直角坐标系中，点A（）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足这样条件的点P有多少个？（）A.8个B.6个C.4个D.2个解：情形1：当AB为斜边时，作以AB为直径的圆∴在Rt△ABC中，AC＝BC＝2∴∠BAC＝45°∴OD＝1，即D是AB的中点∴即画以D为圆心，AD长为半径的圆，如图（1）图（1）易得：情形2：当AB为直角边，且A为直角顶点时，过点A作AB的垂线，如图（2）：图（2）易得：情形3：当AB为直角边，且B为直角顶点时，过点B作AB的垂线，如图（3）：图（3）易得：∴满足这样条件的点P有6个例3.在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm、宽为14cm的长方形纸板上剪下一个腰长为12cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）。请你画出设计方案的示意图，并通过计算说明哪种情况剪下的等腰三角形的面积最小。解：分三种情况：（1）如图①，当AE＝AF＝12时，图①（2）如图②，当AE＝EF＝12时，图②（3）如图③，当AE＝EF＝12时，图③比较上述计算可知第（3）种情况剪下的等腰三角形的面积最小。例4.在直角坐标系xOy中，已知点A、B、C的坐标分别为A（）、B（1，0）、C（0，），求：（1）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求出顶点D的坐标；（2）在y轴上求一点P，使最小，求出P点坐标；（3）在第三象限中，是否存在点M，使AC为等腰△ACM的一边，且底角为30°。如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将（3）题中的“第三象限”改为“坐标平面xOy”，其余条件不变，请直接写出符合条件的点M的坐标（只写结果，不需要解答过程）。解：（1）设二次函数的解析式为（a不为0）且过，代入解得：∴所求解析式为即∴所求顶点坐标为（2）看图易知A点关于y轴的对称点A'的坐标为（2，0），连接A'D，交y轴于点P，点P为所求。由D和A'的坐标可以求得直线A'D的方程为：P点坐标为（3）在第三象限内存在符合条件的点M，如图：设作于E，则类似可以求得：（4）在坐标平面上符合条件的点M有6个，它们的坐标分别是：（答题时间：20分钟）1.已知：如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，M为AB上一点（M不与点A、B重合），MN∥BC交AC于点N。（1）当△AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍时，求AM的长；（2）若∠A＝90°，在BC上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形？若存在，请求出MN的长；若不存在，请说明理由。2.如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线，使它与直线和...
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