函数的单调性和反函数【同步教育信息】一.本周教学内容：函数的单调性和反函数二.学习目标：1.理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。2.能判断一些简单函数在给定区间的单调性。3.理解反函数的概念。4.明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。5.能熟练地求一些函数的反函数。【例题讲解】[例1]证明函数在（0，）上是增函数。证明：设、是（0，）上任意两个值，且由，，则，即故在区间（0，）上是增函数。[例2]讨论函数的单调性，并加以证明，其中。解：（1）当时，（2）当时，（3）当时，故函数分别在（，），（，1），（1，）为减函数。[例3]已知函数，当时是增函数，，当时，且为减函数，判断函数在的单调性。解：任取，且，则，由为减函数，则有，即，且又由在上为增函数，故有即，所以函数在上为减函数说明：已知和，则称为复合函数，复合函数单调性规律是：（1）为增函数，为增函数，则为增函数。（2）为增函数，为减函数，则为减函数。（3）为减函数，为增函数，则为减函数。（4）为减函数，为减函数，则为增函数。[例4]已知，，求的单调区间。解：令，，则，由，知该函数在（，0）上是增函数，在（0，）上是减函数。由，则在（，1）上是增函数，在（1，）上是减函数，而或，利用下表（，）（，0）（0，1）（1，）＋＋－－＋－－＋＋－＋－所以的单增区间为（，），（0，1），单减区间为（，0），（1，）[例5]已知（）（1）求的反函数，并求出反函数的定义域。（2）判断并证明的单调性。解：（1）由得：故，由，则，值域即的定义域为（2）设，则，则，即，故在上为单调递增函数。【模拟试题】一.选择题：1.若函数在（，）上是减函数，则（）A.B.C.D.2.函数在（，）上是（）A.增函数B.减函数C.有时增有时减D.无法判定3.函数是减函数的区间是（）A.B.（，1）C.（0，）D.4.设，若，则（）A.0B.C.D.二.解答题：5.证明函数在（，2）上是增函数。6.已知，求。[参考答案]一.1.D2.A3.B4.B二.5.略6.（）
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