四川省眉山市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（扫描版）眉山市高中2021届第三学期期末教学质量检测(理工类)数学参考答案及评分意见2020.1一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BADCCDBBAADB二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．15．516．三、解答题（本题共6小题，共70分）17.解：（1）由题意可知，又为的中点所在直线的方程为即…………3分同理所在直线的方程为联立方程得……………5分（2）由(1)可得,……………6分设的外接圆的方程为代入的坐标可得解方程组可得圆的方程为……………10分18.解：（1）是圆的直径，点是圆上的动点……………2分又直线垂直于圆所在平面，又……………4分又,分别是，的中点，……………6分（2）因为的边长为的正三角形，则……………8分……………………………12分19.解：（1）设动点的坐标为，的坐标为由题意可知，且，，即,即，又在曲线上运动即………………6分（2）设直线的平行直线为，代入得当，即直线到的距离最大，此时的面积最大，……………12分20.（1）证明：在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB，即BD2＝4＋16－16×12＝12，所以BD＝2，所以BD2＋AB2＝AD2，………………………2分所以△ABD和△EBD均为直角三角形，所以ED⊥DB.………………………3分又DB是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD⊥平面ABD，ED⊂平面EBD，所以ED⊥平面ABD.………………………4分又AB⊂平面ABD，所以AB⊥DE.………………………5分（2）由(1)知∠ABD＝∠CDB＝90°，以D为坐标原点，DB，DC，DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2，－2，0)，F(，0，1)，所以＝(2，－2，0)，＝(0，0，2)，＝(－，2，1)．………………8分设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令x＝1，则y＝.又z＝0，所以．…………………10分设直线AF与平面ADE所成的角为α，则有.…………………12分21.解：（1）证明：在矩形PDCE中，设PC交DE于点N，则点N为PC的中点．连接MN.在△APC中，点M为PA的中点，点N为PC的中点，所以AC∥MN.又MN⊂平面MDE，AC⊄平面MDE，所以AC∥平面MDE.………………3分（2）由∠ADC＝90°，得AD⊥CD，由平面PDCE⊥平面ABCD，且平面PDCE∩平面ABCD＝CD，得AD⊥平面PDCE，所以AD⊥PD.在矩形PDCE中，PD⊥CD，则DA，DC,DP两两垂直．以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，所以AP＝(－1，0，)，CP＝(0，－2，)，BC＝(－1，1，0)．…………4分设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则，取n＝(1，1，)．………5分设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝＝.所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.……………7分（3）假设存在点Q满足条件，则可设CQ＝λCP(0<λ<1)，得Q(0，2－2λ，λ)．……8分又DA＝(1，0，0)，DQ＝(0，2－2λ，λ)，设平面QAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则由，令y1＝λ，则n1＝(0，λ，2λ－2)．由平面QAD与平面PBC所成的锐二面角为，………………10分得cos＝＝＝，所以λ＝或λ＝1(舍去)，所以所求点Q为线段CP上靠近点C的一个三等分点，即在线段PC上存在点Q满足条件．………………12分MPAEBCDyx22.（1）由题意可知，在的垂直平分线上∴又 ∴………………1分∴点的轨迹为椭圆，且即，由题意可知，∴∴曲线的方程为………………3分（2） ，∴四边形OACB为平行四边形，当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋3，与曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由，得(1＋4k2)x2＋24kx＋32＝0.……………4分由Δ＝(24k)2－128(1＋4k2)>0得k2>2.x1＋x2＝－，x1x2＝. S△OAB＝|OD||x1－x2|＝|x1－x2|，∴S▱OACB＝2S△OAB＝3|x1－x2|＝3＝3＝3＝24，……………6分令k2－2＝t，则k2＝t＋2(由上式知t>0)，∴S▱OANB＝24＝24≤24＝2，当且仅当t＝，即k2＝时取等号，∴当k＝±时，平行四边形OACB的面积的最大值为2.此时直线的方程为y＝±x＋3.……………8分（3...
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