第四章三角函数知识网络§4.1角的概念与任意角的三角函数教学内参教学总体思路本节重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义及在各象限内的符号和定义域,诱导公式一,弧度的意义及角度与弧度的换算.难点是用三角函数线表示一个角的三角函数值.在教学中要注意加强概念的教学,让学生明确各概念的意义,以便在以后的学习中不易混淆.另外,要使学生增强数形结合意识,会运用“单位圆”这一有效工具来解决问题.高考动态分析角的有关概念是解三角函数问题的基础,在高考三角问题中,熟练运用概念是解题的根本,本考点的作用不容忽视;三角函数的定义、符号、定义域在高考中时有出现,有时单独命题,但多数是融合在三角综合题中.教学内参一、角的概念与推广1.任意角的概念:角可以看成是一条射线,绕着它的端点旋转而成的图形,开始位置的射线叫始边,终止位置的射线叫终边.规定按逆时针方向旋转所成的角为正角,按顺时针方向旋转所成的角为负角,没有旋转的角为零角.2.象限角与轴上角:角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角;如果角的终边在坐标轴上,这样的角叫轴上角,不属于任何象限.3.终边相同的角:若α为任意角,则与α终边相同的角,连同α在内,可以表示成2kπ+α(kZ).∈二、弧度制1.概念:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫弧度制,它的单位符号是rad,读作弧度.2.弧长公式与扇形面积公式:在弧度制下,弧长l=|α|r(r为半径),扇形面积S扇形=l·r=r2|α|.3.弧度与角度的换算公式:180°=πrad，1°=rad,1rad=()°.4.特殊角的角度数与弧度数的换算表:角度0°15°30°45°60°弧度0角度75°90°180°270°360°弧度π2π三、任意角的三角函数1.定义:在角α的终边上任取一点P(x,y),设|OP|=r(r＞0),则sinα=;cosα=;tanα=;cotα=;secα=;cscα=.图4-1-12.三角函数线:如图4-1-1,单位圆中的有向线段:MP、OM、AT分别叫做α的正弦线、余弦线、正切线.3.三角函数的定义域:y=sinα,y=cosα的定义域是R;y=tanα,y=secα的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z};y=cotα,y=cscα的定义域是{α|α≠kπ,k∈Z}.4.三角函数值在各象限中的符号象限三角函数ⅠⅡⅢⅣsinα,cscα++--cosα,secα+--+tanα,cotα+-+-复习导航1.考纲要求理解任意角的概念、弧度的意义;能正确地进行弧度与角度的换算;掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切的概念;了解余切、正割、余割的定义.2.特别提示(1)角的集合的表示形式不是唯一的,如,终边在y轴的负半轴上的角的集合可用如下两种形式来表示:{x|x=2kπ,k∈Z},{x|x=2kπ+,k∈Z},但应注意角度制与弧度制不能混用,如:{x|x=2kπ+270°,k∈Z}是错误形式;角的概念推广及弧度制的建立,使角的集合与实数集R之间建立了一个一一对应关系,使运算更为方便.(2)三角函数中,角和三角函数值的对应关系是多值对应关系,即给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况);反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和它对应.(3)利用定义求三角函数值时,要注意角的终边所在的象限.当终边所在的象限不定时,要注意分情况讨论,分类讨论的思想是解决这类题的重要思想方法.(4)注意第一象限角、锐角、小于90°的角的区别与联系.第一象限的角可以表示成{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z},它包含锐角.锐角可以写成{α|0°＜α＜90°},它是第一象限的角.小于90°的角可以表示成{α|α＜90°},它包含锐角、零角及负角.(5)单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具,借助它,不但可以画出准确的三角函数图象,还可以讨论三角函数性质.三角函数线是有向线段,字母顺序不能随意调换,当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在.精题选讲案例1(1)写出终边在y轴上的角的集合;(2)若角α的终边和函数y=-|x|的图象重合,试写出角α的集合;(3)已知角α是第二象限角,试确定2α、所在的象限;(4)若θ角的终边与168°角的终边相同,求在［0°,360°)内终边与角的终边相同的角.解析：(1)集合为{α|α=2kπ+,k∈Z}{α|α=2kπ+∪,...
