基础练习301.已知双曲线C∶－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是________．解析 2a＝2，∴a＝1，又＝2，∴c＝2，∴双曲线C的焦点坐标是(±2,0)．答案(±2,0)2．(2013·陕西卷)双曲线－＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．解析由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.答案93．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM＋PN的最小值为________．解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1＋PF2＝10，从而PM＋PN的最小值为PF1＋PF2－1－2＝7.答案74．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．解析由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝1.答案5x2－y2＝15．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．解析直线AB的斜率k＝＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以①－②得＝－·.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以k＝－×，所以＝，③又a2－b2＝c2＝9，④由③④得a2＝18，b2＝9.故椭圆E的方程为＋＝1.答案＋＝16．(2014·金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若OA＝b，则该双曲线的离心率为________．解析如图，延长F2A交PF1于B点，依题意可得BF1＝PF1－PF2＝2a.又点A是BF2的中点，所以OA＝BF1，即b＝a，∴c＝a，即e＝.答案7．已知双曲线C与椭圆＋＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．解析由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝＝2，故椭圆的离心率e1＝＝，则双曲线的离心率e2＝＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a＝＝＝1，b2＝＝＝，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.因为点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得PF1－PF2＝2a＝2，又PF2＝4，所以PF1＝6.因为坐标原点O为F1F2的中点，M为PF2的中点．所以MO＝PF1＝3.答案38．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点．若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，则椭圆的离心率为________．解析设AB＝3t(t＞0)，则BF2＝4t，AF2＝5t，则AB＋BF2＋AF2＝12t.因为AB＋BF2＋AF2＝4a，所以12t＝4a，即t＝a.又F1A＋AF2＝2a，所以F1A＝2a－a＝a，F1B＝a，BF2＝a.由AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，知AB⊥BF2，故F1B2＋BF＝4c2，即(a)2＋(a)2＝4c2，得a2＝c2.所以e2＝＝，即e＝.答案二、解答题9．(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．解设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.因为点C在椭圆上，所以＋＝1.解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝.10．(2014·北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．解(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.因为...
