湖南省益阳市箴言中学高二理科学月考试数学试题2007.3时量：120分钟总分120分命题：谢立荣一、选择题：（每小题4分）1、下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）ABCD2、已知直线及平面，下列命题中的假命题是（）A．若，，则.B．若，，则.C．若，，则.D．若，，则.3、在下列四个正方体中，能得出ABCD⊥的是（）4.设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）A．B.C.D.5.右图是一个无盖的正方体盒子展形后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为()A．180°B．120°C．60°D．45°6.已知空间三点的坐标为，，，若A、B、C三点共线，则（）A．，B．，C．，D．，7.如图，长方体中，，AD=1，点E、F、G分别是、、的中点，则异面直线与所成的角是（）A.B.C.D.8、已知：两异面直线所成的角为，直线分别与所成角都是，则的取值范围是（）A、B,C、D、ABACADFA1B1AC1AD1GFEABCDBCA9．一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（）A．2B．2C．4D．210已知，则的最小值为（）A．B．C．D．二．填空题：（每小题4分共20分）11.已知点P为锐二面角张口内的一点，点P到平面及棱的距离之比为，则此二面角的大小是.12.在三棱维A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则的化简结果为.13、已知向量，若向量与向量互相垂直，则的值为。14.如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且面，面，,当是菱形是时，.15、长方体的长、宽、高的和为6，全面积为11，则对角线长为三．解答题：（共60分）16.(本小题10分）三棱柱中，分别是、上的点，且，。设，，。（Ⅰ）试用表示向量；（Ⅱ）若，，，求MN的长。HBCFGDEAB1C1A1NMCBA17.（本题满分10分）如图，平面，线段分别交于于，线段分别交于，线段分别交于，若，，求的面积。18.(本小题12分)如图：已知二面角的大小为，点于点，，且，求（1）直线所成角的大小，（2）直线的距离。DNBEFMAClACBD19、（本小题14分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求二面角E—BD—A的大小；（Ⅲ）求点E到平面A1BCD1的距离.20（本小题14分）如图，正方体中，点E在棱CD上。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若E是CD中点，求与平面所成的角。（Ⅲ）设M在上，且，是否存在点E，使平面⊥平面，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由；参考答案：EABCDA1B1C1D1一、选择题：1---5DDACC,6---10DBBBC二、填空题：11、12、13.14、15.5三、解答题：17.（（Ⅰ）。（Ⅱ），，。17、结线段，如图所示，因为，所以，根据三角形相似，有又18、设则，，（1），所成的角为（2）设与都垂直的非零向量由得，令，设的距离为，19.解法一：（I）连结AC交BD于点O，则O是AC的中点.连结EO.有A1C∥EO.∵EO平面BED，A1C平面BED∴A1C∥平面BED.（II）∵AC⊥BD于O，又∵E是AA的中点，∴EB=ED.∴EO⊥BD.∴∠EOA是二面角E—BD—A的平面角.在Rt△EAO中，EA=AA1=2，AO=AC=∴=二面角E—BD—A的大小是（III）过点E作EF⊥A1B于F.∵A1D1⊥平面A1B1BA，EF平面A1B1BA，∴A1D1⊥EF且A1B∩A1D1=A1.∴EF⊥平面A1BCD1则EF的长是点E到平面A1BCD1的距离.∵且A1E=2，A1B=5，AB=3，∴EF=即点E到平面A1BCD1的距离是解法二：（I）如图建立空间直角坐标系，取BD的中点O，连结EO.A1（0，0，4），C（3，3，0），E（0，0，2），O（，，∴A1C∥EO.∵EO平面BED，A1C平面BED，∴A1C∥平面BED.（II）由于AE⊥平面ABCD，则就是平面ABCD的法向量B（3，0，0），D（0，3，0），设平面EBD的法向量为由令z=3，则…∴二面角E—BD—A的大小为arrccos.（III）D1（0，3，4），则，设平面A1BCD1的法向量为又即点E到平面A1BCD1的距离是20、解：以D为坐标原点，DA，DC，依次为轴、轴，轴正方向建立空间直角坐标系，并且正方体棱长为1,设点E的坐标为。（Ⅰ），∵，∴。（Ⅱ）当E是CD中点时，，，设平面的一个法向量是，则由得一组解是，又，由，从而直线与平面所成的角的正弦值是。（Ⅲ）平面的一个法向量是，平面的一个法向量是∵平面⊥平面，∴，解得或，故当点E是CD的中点时，平面⊥平面.
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