3.2.2导数与函数的极值、最值A组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·南昌模拟)已知函数f(x)＝(2x－x2)ex，则()A．f()是f(x)的极大值也是最大值B．f()是f(x)的极大值但不是最大值C．f(－)是f(x)的极小值也是最小值D．f(x)没有最大值也没有最小值【解析】由题意得f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex＝(2－x2)ex，当－＜x＜时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＜－或x＞时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，所以f(x)在x＝处取得极大值f()＝2(－1)e＞0，在x＝－处取得极小值f(－)＝2(－－1)e－＜0，又当x＜0时，f(x)＝(2x－x2)ex＜0，所以f()是f(x)的极大值也是最大值．【答案】A2．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝xe－xD．y＝x＋【解析】由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．【答案】D3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()【解析】由函数f(x)在x＝－2处取得极小值，可得f′(－2)＝0，且当x∈(a，－2)(a＜－2)时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x∈(－2，b)(b＞－2)时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.所以函数y＝xf′(x)在区间(a，－2)(a＜－2)内的函数值为正，在区间(－2，b)(－2＜b＜0)内的函数值为负，由此可排除选项A，B，D.【答案】C4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18B．11C．18D．17或18【解析】 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，即解得或而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.【答案】C5．(2017·黑龙江大庆铁人中学期中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．4B．8C．9D．18【解析】因为f(x)＝4x3－ax2－bx＋2，所以f′(x)＝12x2－2ax－b.由于函数f(x)在x＝1处有极值，所以f′(1)＝0，即12－2a－b＝0，2a＋b＝12.因为a＞0，b＞0，所以ab＝·2a·b≤＝18，当且仅当2a＝b＝6，即a＝3，b＝6时取等号，所以ab的最大值是18.故选D.【答案】D6．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是________．【解析】f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0，2]，得x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，可知最小值为－.【答案】－7．(2015·陕西)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．【解析】由y＝xex可得y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，从而可得y＝xex在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x＝－1时，y＝xex取得极小值－e－1，因为y′|x＝－1＝0，故切线方程为y＝－e－1，即y＝－.【答案】y＝－8．(2017·广州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．【解析】由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.【答案】－79．(2017·济宁模拟节选)已知函数f(x)＝(k≠0)．求函数f(x)的极值．【解析】f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－.令f′(x)＝0，得x＝1，当k＞0时，若0＜x＜1，则f′(x)＞0；若x＞1，则f′(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，函数f(x)取得极大值.当k＜0时，若0＜x＜1，则f′(x)＜0；若x＞1，则f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值.10．已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．【解析】(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的...
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