解答题(八)17．(2019·江西南昌一模)如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥BD；(2)求二面角E－A1C1－C的余弦值．解(1)证明：因为CC1⊥底面ABCD，所以C1C⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面AC1C，又由四棱台ABCD－A1B1C1D1，知A1，A，C，C1四点共面，所以BD⊥平面A1ACC1，所以BD⊥AA1.(2)设AC交BD于点O，连接A1O，依题意，有A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以四边形A1OCC1为平行四边形，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1.因为CC1⊥底面ABCD，所以A1O⊥底面ABCD.以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(2，0,0)，A1(0,0,4)，C1(－2，0,4)，B(0,2,0)，由A1B1＝AB，得B1(－，1,4)，因为E是棱BB1的中点，所以E，所以EA1＝，A1C1＝(－2，0,0)，设n＝(x，y，z)为平面EA1C1的法向量，则取z＝3，得n＝(0,4,3)，平面A1C1C的法向量m＝(0,1，0)，又由图可知，二面角E－A1C1－C为锐二面角，设二面角E－A1C1－C的平面角为θ，则cosθ＝＝，所以二面角E－A1C1－C的余弦值为.18．(2019·福建三明质量检查)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝3(acosB＋bcosA)，b＋c＝8.(1)求b，c；(2)若BC边上的中线AD＝，求△ABC的面积．解(1)由正弦定理，得sinB＝3(sinAcosB＋sinBcosA)，所以sinB＝3sin(A＋B)，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，即sinB＝3sinC，所以b＝3c，又因为b＋c＝8，所以b＝6，c＝2.(2)在△ABD和△ACD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，b2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC.因为b＝6，c＝2，BD＝DC＝，AD＝，又因为∠ADB＋∠ADC＝π，即cos∠ADB＝－cos∠ADC，所以a2＝31，所以cos∠BAC＝＝，又因为∠BAC∈(0，π)，所以sin∠BAC＝.所以△ABC的面积S△ABC＝bcsin∠BAC＝.19．(2019·湖北黄冈2月联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作为代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①若某用户从该企业购买了10件这种产品，记X表示这10件产品中质量指标值位于(187.4,225.2)的产品件数，求E(X)；②一天内抽取的产品中，若出现了质量指标值在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．右面的茎叶图是检验员在一天内抽取的15个产品的质量指标值，根据近似值判断是否需要对当天的生产过程进行检查．附：≈12.6，P(μ－σ0)，过抛物线的焦点F且与y轴垂直的直线与抛物线相交于A，B两点，且△OAB的周长为2＋.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过焦点F且与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点P，求|PF|2－|MF|·|NF|的值．解(1)由题意，知焦点F的坐标为，将y＝代入抛物线C的方程可求得点A，B的坐标分别为，，则|AB|＝2p，|OA|＝|OB|＝＝p，可得△OAB的周长为2p＋p，则2p＋p＝2＋，解得p＝1.故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)由(1)，知抛物线C的方程可化为y＝x2，求导可得y′＝x.设点M，N的...
VIP
