压轴题(二)12．设实数m>0，若对任意的x≥e，不等式x2lnx－me≥0恒成立，则m的最大值是()A．B．C．2eD．e答案D解析不等式x2lnx－me≥0⇔x2lnx≥me⇔xlnx≥e⇔elnxlnx≥e，设f(x)＝xex(x>0)，则f′(x)＝(x＋1)ex>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因为>0，lnx>0，所以≤lnx，即m≤xlnx对任意的x≥e恒成立，此时只需m≤(xlnx)min，设g(x)＝xlnx(x≥e)，g′(x)＝lnx＋1>0(x≥e)，所以g(x)在[e，＋∞)上为增函数，所以g(x)min＝g(e)＝e，所以m≤e，即m的最大值为e.故选D.16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型，设某双曲线型冷却塔是曲线－＝1(a>0，b>0)与直线x＝0，y＝0和y＝b所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得，如图所示，试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为________．答案πa2b解析如题图，A点在双曲线上，B点在渐近线上，则图中圆环的面积为πx－πx＝π－π2＝πa2，从而根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何体的体积等于底面半径为a、高为b的圆柱的体积，所以此冷却塔的体积为πa2b＋πa2b＝πa2b.20．(2019·河南开封三模)已知函数f(x)＝ex－a，g(x)＝a(x－1)(常数a∈R)．(1)当g(x)与f(x)的图象相切时，求a的值；(2)设φ(x)＝f(x)－g(x2)，讨论φ(x)在(0，＋∞)上零点的个数．解(1)设切点为A(x0，e－a)，因为f′(x)＝ex，所以过A点的切线方程为y－e＋a＝e(x－x0)，即y＝ex－x0e＋e－a，由题意可得解得a＝e.(2)由题意可得φ(x)＝ex－ax2，设函数h(x)＝1－ax2e－x，φ(x)在(0，＋∞)上零点的个数与h(x)在(0，＋∞)上零点的个数相同，当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点；当a>0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x，x∈(0,2)时，h′(x)<0；x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，∴h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)上的最小值.①若h(2)>0，即a<时，h(x)在(0，＋∞)上没有零点；②若h(2)＝0，即a＝时，h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点；③若h(2)<0，即a>时，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，＋∞)上有两个零点，综上，当a<时，φ(x)在(0，＋∞)上没有零点；当a＝时，φ(x)在(0，＋∞)上只有一个零1点；当a>时，φ(x)在(0，＋∞)上有两个零点．21．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．解(1)由题意，得·＝－，化简，得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．由得x＝±.设u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.(*)设G(xG，yG)，则－u和xG是方程(*)的解，故xG＝，由此，得yG＝.从而直线PG的斜率为＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．②由①，得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ|·|PG|＝＝.设t＝k＋，则由k>0，得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.因此，△PQG面积的最大值为.23
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