3．4.1基本不等式的证明1．(a－b)2≥0⇒a2＋b2≥2ab，那么()2＋()2≥2，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立．2.叫做a、b的算术平均数．3.叫做a、b的几何平均数．4．基本不等式≥，说明两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．5．如下图，在⊙O中，AB是圆的直径，CD⊥AB于点D，由射影定理可知，CD2＝AD·DB，则CD＝叫做AD、DB的几何平均数，OC＝叫做AD、DB的算术平均数．由上图可知，OC≥CD，当△ABC是等腰直角三角形时，有OC＝CD.6．不等式≥，(a、b∈R＋)，在证明不等式，求函数的最大值、最小值时，有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式一、选择题1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么＋的值是(B)A．大于2B．小于－2或大于2C．小于等于2D．大于－2或小于2解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2.2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(B)A．a＞b＞＞B．a＞＞＞bC．a＞＞b＞D．a＞＞＞b解析：由a－＝＞0，－b＝(－)＞0，再结合基本不等式＞.3．给出下面四个推导过程：① a，b∈R＋，∴＋≥2＝2；② x，y∈R＋，∴lgx＋lgy≥2；③ a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；④ x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导为(D)1A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①由于a，b∈R＋，∴，∈R＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x，y∈R＋，但当x∈(0，1)和y∈(0，1)时，lgx和lgy都是负数，∴②的推导过程是错误的；③由a∈R，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的；④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(C)A.B．4C.D．5解析：y＝＋＝×2＝(a＋b)(＋)＝≥(5＋2)＝.5．下列结论正确的是(B)A．当x＞0且x≠1时，lgx＋≥2B．当x＞0时，＋≥2C．当x≥2时，x＋的最小值为2D．当0＜x≤2时，x－无最大值解析：当0＜x＜1时，lgx＋＜0，∴A错误；当x＞0时，＋≥2＝2，∴B正确；当x≥2时，x＋的最小值为，∴C错误；当0＜x≤2时，x－是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．二、填空题6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与的大小关系是________．解析：因A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A＝A，∴x≤.答案：x≤7．给出下列不等式：①a2＋1＞2a；②a2＋4≥4a；③≥2；④≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________．解析：当a＝1时，①不成立；当ab＜0时，④不成立．答案：②③8．(2013·天津卷)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，＋取得最小值．2解析： a＋b＝2，∴＋＝＋＝＋≥＋1，显然当a＜0且b＝2|a|时，上式等号成立，将b＝－2a与a＋b＝2联立即得a＝－2.答案：－2三、解答题9．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证：＋≥4.证明：＋＝＋＋＋＝＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b且c＝d时取“＝”号，∴＋≥4.10．设x1，x2，…，xn都是正整数，求证：＋＋…＋＋≥x1＋x2＋…＋xn.证明： x1，x2，…，xn都是正整数，∴由基本不等式得＋x2≥2x1，＋x3≥2x2，…＋x1≥2xn.将以上n个式子相加命题即得证．►能力升级一、选择题11．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(D)A．1B．2C．3D．4解析： a＞b＞0，a2＋＋＝a2＋＝a2＋≥a2＋＝a2＋≥4(当且仅当a＝2b＝时取“＝”)，故.12．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(C)A.B.C．5D．6解析： x＋3y＝5xy，∴＋＝5.∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝≥＝(13＋12)＝5.13．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(D)A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2C.＋＞D.＋≥2解析：令a＝b＝1可知A，C不成立；令a＝b＝－1可知B不成立．3二、填空题14．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.解析：①项， a＞0，b＞0，2＝a＋b，a＋b≥2，∴≤1，即ab≤1.②项， －＝≥0，∴≤.∴＋≤，故＋≤2.③项， ≥，∴a2＋b2≥.又 a＋b＝2，∴a2＋b2≥2.④项， a3＋b3＝(a＋b)3－3a2b－3ab2＝8－3ab(a＋b)＝8－6ab≥8－6＝2(由①ab≤1)．⑤项，＋≥...
VIP
