2.3.2双曲线的简单几何性质自我小测1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为()A．2B．2C.D．12．已知双曲线＋＝1的离心率e＜2，则k的取值范围是()A．k＜0或k＞3B．－3＜k＜0C．－12＜k＜0D．－8＜k＜33．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则这个双曲线的方程为()A．2x2－4y2＝1B．2x2－4y2＝2C．2y2－4x2＝1D．2y2－4x2＝34．过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为()A．－＋＝1B.－＝1C．－＋＝1D.－＝15．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为()A．2B．3C.D.6．双曲线－＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，如图，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，交MF1于点H，交MF2于点N，则双曲线的离心率为()A．1＋B．4＋2C．2－2D．2＋27．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．8．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率e＝__________.9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__________．10．求以过原点且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切的两直线为渐近线，且过椭圆y2＋4x2＝4两焦点的双曲线的方程．11．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，离心率为2，求此双曲线的标准方程．12．已知双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求此双曲线的离心率．1参考答案1．解析：由－＝1得渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(±4,0)，则焦点F(4,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝2.答案：A2．解析：由题意知k＜0，所以e＝＜2，解得－12＜k＜0.答案：C3．解析：由于4x2＋y2＝1的焦点坐标为，即双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，由2＝a2＋b2得a2＝，b2＝，再结合焦点在y轴上，故选C.答案：C4．解析：由题意可设双曲线方程为－y2＝k(k∈R，且k≠0)，又双曲线过点(2，－2)，代入即可求得k，从而求出双曲线方程为－＋＝1.答案：A5．解析：依题意，2a＋2c＝2·2b，所以a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，即3c2－2ac－5a2＝0，所以3e2－2e－5＝0，所以e＝或e＝－1(舍)．答案：D6．解析：由题意知，|F1N|＝c，|NF2|＝c，又|NF1|－|NF2|＝2a，即c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.答案：A7．解析：因为＝2，c＝4，所以a＝2，b＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝18．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x.因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2知＝，解得e2＝，所以e＝.答案：9．解析：因为双曲线上存在一点P使|PF1|=2|PF2|，如图．又因为|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF2|=2a，即在双曲线右支上必存在点P使得|PF2|=2a.所以|AF2|≤2a.所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a，2所以c≤3a，所以ca≤3.又因为e＞1，所以1＜e≤3.答案：1＜e≤310．解：圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为(2,0)，半径r＝1.设过原点的圆的切线方程为y＝kx.由圆的切线的性质，可得＝r＝1.解得k＝±.故双曲线的渐近线方程为y＝±x，从而所求的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．①将椭圆y2＋4x2＝4化为标准形式为＋x2＝1.所以焦点坐标为(0，±)．将点(0，)代入①，得－＝λ，所以λ＝－1.故所求双曲线的方程为－＝1.11．解：设双曲线的标准方程为－＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.由余弦定理，得(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos60°)，所以4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.又12PFFS＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝12，所以|PF1|·|PF2|＝48.由3c2＝48，所以c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.12．解法一：依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为c，得＝c，即ab＝c2.所以16a2b2＝3(a2＋b2)2，即3b4－10a2b2＋3a4＝0.所以32－10＋3＝0.解得＝或＝3.又0＜a＜b，所以＝3.所以e＝＝2.解法二：设A(a,0)，B(0，b)，则|AB|＝c.令∠BAO＝α，则cosα＝＝，sinα＝＝e.3又sin2α＋cos2α＝1，所以e2＋＝1，即3e4－16e2＋16＝0.所以e2＝或e2＝4，即e＝或e＝2.又0＜a＜b，所以＞1，所以e＝＞.所以离心率e为2.4
